Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1479

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1479

Построить график функцииy=x2(x−1)(x+1)2y=\frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}
ПостроениеОбласть определения D=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}.
Вертикальная асимптота x=−1x=-1, наклонная асимптота y=x−3y=x-3.
Локальные максимумы достигаются при x=αx=\alpha и x=0x=0, локальный
минимум — при x=βx=\beta, гдеα=−3−172,β=−3+172\alpha=\frac{-3-\sqrt{17}}2,
\qquad
\beta=\frac{-3+\sqrt{17}}2

Построение

Идея

Область определения функцииD=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}Нули находятся из равенства x2(x−1)=0x^2(x-1)=0:x=0,x=1x=0,
\qquad
x=1Нуль x=0x=0 имеет чётную кратность, поэтому в этой точке график
касается оси OxOx, не меняя знака. Поскольку знаменатель положителен,
функция отрицательна на(−∞,−1)∪(−1,0)∪(0,1)(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)обращается в нуль при x=0x=0 и x=1x=1, а на (1,+∞)(1,+\infty)
положительна.
  1. 1
    В точке x=−1x=-1 числитель стремится к −2-2, а знаменатель — к нулю
    через положительные значения. Поэтомуlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=−∞\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
    \qquad
    \lim_{x\to-1^+}y=-\infty    и прямая x=−1x=-1 является вертикальной асимптотой. Делением многочленов
    получаемy=x−3+5x+3(x+1)2y=x-3+\frac{5x+3}{(x+1)^2}Следовательно, при x→±∞x\to\pm\infty имеем наклонную асимптотуy=x−3y=x-3
  2. 2
    Найдём производную:y′=x(x2+3x−2)(x+1)3y'=\frac{x(x^2+3x-2)}{(x+1)^3}Введём обозначенияα=−3−172≈−3,562,β=−3+172≈0,562\alpha=\frac{-3-\sqrt{17}}2\approx-3{,}562,
    \qquad
    \beta=\frac{-3+\sqrt{17}}2\approx0{,}562    Тогда y′=0y'=0 при x=α,0,βx=\alpha,0,\beta. Таблица знаков производной даёт:y′>0на (−∞,α), (−1,0), (β,+∞)y′<0на (α,−1), (0,β)\begin{aligned}
    &y'>0 &&\text{на }(-\infty,\alpha),\ (-1,0),\ (\beta,+\infty)\\
    &y'<0 &&\text{на }(\alpha,-1),\ (0,\beta)
    \end{aligned}    Поэтому точки x=αx=\alpha и x=0x=0 являются точками локального
    максимума, а x=βx=\beta — точкой локального минимума. Их значения:y(α)≈−8,818,y(0)=0,y(β)≈−0,0567y(\alpha)\approx-8{,}818,
    \qquad
    y(0)=0,
    \qquad
    y(\beta)\approx-0{,}0567
  3. 3
    Для направления выпуклости вычислим вторую производную:y′′=2(5x−1)(x+1)4y''=\frac{2(5x-1)}{(x+1)^4}Она меняет знак при x=15x=\frac15. Поэтому график выпуклый вниз при
    x<15x<\frac15, с учётом разрыва при x=−1x=-1, и выпуклый вверх при
    x>15x>\frac15. Точка перегиба равна(15,−145)\left(\frac15,-\frac1{45}\right)
  4. 4

    Построение графика

    Сначала показан общий вид с вертикальной и наклонной
    асимптотами. Затем приведён увеличенный фрагмент центральной ветви:
    на общем масштабе небольшой минимум y(β)≈−0,0567y(\beta)\approx-0{,}0567 почти
    сливается с осью OxOx.график к задаче Демидовича № 1479

Проверка

Ответ. Область определения D=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}.
Вертикальная асимптота x=−1x=-1, наклонная асимптота y=x−3y=x-3.
Локальные максимумы достигаются при x=αx=\alpha и x=0x=0, локальный
минимум — при x=βx=\beta, гдеα=−3−172,β=−3+172\alpha=\frac{-3-\sqrt{17}}2,
\qquad
\beta=\frac{-3+\sqrt{17}}2
Демидович № 1479 — решение и ответ