Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1479

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1479

Построить график функцииy=x2(x−1)(x+1)2y=\frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}
ПостроениеОбласть определения D=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}.
Вертикальная асимптота x=−1x=-1, наклонная асимптота y=x−3y=x-3.
Локальные максимумы достигаются при x=αx=\alpha и x=0x=0, локальный
минимум — при x=βx=\beta, гдеα=−3−172,β=−3+172\alpha=\frac{-3-\sqrt{17}}2,
\qquad
\beta=\frac{-3+\sqrt{17}}2

Построение

Область определения функцииD=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}Нули находятся из равенства x2(x−1)=0x^2(x-1)=0:x=0,x=1x=0,
\qquad
x=1Нуль x=0x=0 имеет чётную кратность, поэтому в этой точке график
касается оси OxOx, не меняя знака. Поскольку знаменатель положителен,
функция отрицательна на(−∞,−1)∪(−1,0)∪(0,1)(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1)обращается в нуль при x=0x=0 и x=1x=1, а на (1,+∞)(1,+\infty)
положительна.
В точке x=−1x=-1 числитель стремится к −2-2, а знаменатель --- к нулю
через положительные значения. Поэтомуlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=−∞\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1^+}y=-\inftyи прямая x=−1x=-1 является вертикальной асимптотой. Делением многочленов
получаемy=x−3+5x+3(x+1)2y=x-3+\frac{5x+3}{(x+1)^2}Следовательно, при x→±∞x\to\pm\infty имеем наклонную асимптотуy=x−3y=x-3
Найдём производную:y′=x(x2+3x−2)(x+1)3y'=\frac{x(x^2+3x-2)}{(x+1)^3}Введём обозначенияα=−3−172,β=−3+172\alpha=\frac{-3-\sqrt{17}}2,
\qquad
\beta=\frac{-3+\sqrt{17}}2Тогда y′=0y'=0 при x=α,0,βx=\alpha,0,\beta. Таблица знаков производной даёт:y′>0на (−∞,α), (−1,0), (β,+∞)y′<0на (α,−1), (0,β)\begin{aligned}
&y'>0 &&\text{на }(-\infty,\alpha),\ (-1,0),\ (\beta,+\infty)\\
&y'<0 &&\text{на }(\alpha,-1),\ (0,\beta)
\end{aligned}Поэтому точки x=αx=\alpha и x=0x=0 являются точками локального
максимума, а x=βx=\beta --- точкой локального минимума. Их значения:y(α)=−71−171716,y(0)=0,y(β)=−71+171716y(\alpha)=\frac{-71-17\sqrt{17}}{16},
\qquad
y(0)=0,
\qquad
y(\beta)=\frac{-71+17\sqrt{17}}{16}
Для направления выпуклости вычислим вторую производную:y′′=2(5x−1)(x+1)4y''=\frac{2(5x-1)}{(x+1)^4}Она меняет знак при x=15x=\frac15. На каждом из интервалов (−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,1/5)(-1,1/5) имеем y′′<0y''<0: график лежит ниже своих касательных. На (1/5,+∞)(1/5,+\infty) имеем y′′>0y''>0, и график лежит выше своих касательных. Точка перегиба равна(15,−145)\left(\frac15,-\frac1{45}\right)

Построение графика

Сначала показан общий вид с вертикальной и наклонной
асимптотами. Затем приведён увеличенный фрагмент центральной ветви:
на общем масштабе небольшой минимум y(β)=−71+171716y(\beta)=\frac{-71+17\sqrt{17}}{16} почти
сливается с осью OxOx.график к задаче Демидовича № 1479

Ответ

Область определения D=R∖{−1}D=\mathbb R\setminus\{-1\}.
Вертикальная асимптота x=−1x=-1, наклонная асимптота y=x−3y=x-3.
Локальные максимумы достигаются при x=αx=\alpha и x=0x=0, локальный
минимум --- при x=βx=\beta, гдеα=−3−172,β=−3+172\alpha=\frac{-3-\sqrt{17}}2,
\qquad
\beta=\frac{-3+\sqrt{17}}2

Проверка

Вычисления производных и ординат:y′=(3x2−2x)(x+1)−2(x3−x2)(x+1)3=x3+3x2−2x(x+1)3,y'=\frac{(3x^2-2x)(x+1)-2(x^3-x^2)}{(x+1)^3}
=\frac{x^3+3x^2-2x}{(x+1)^3},y′′=(3x2+6x−2)(x+1)−3(x3+3x2−2x)(x+1)4=10x−2(x+1)4.y''=\frac{(3x^2+6x-2)(x+1)-3(x^3+3x^2-2x)}{(x+1)^4}
=\frac{10x-2}{(x+1)^4}.Для r=αr=\alpha или r=βr=\beta выполняется r2=2−3rr^2=2-3r, r3=11r−6r^3=11r-6. Поэтомуy(r)=r3−r2r2+2r+1=14r−83−r=17r−108.y(r)=\frac{r^3-r^2}{r^2+2r+1}=\frac{14r-8}{3-r}=\frac{17r-10}{8}.Последнее равенство следует из (17r−10)(3−r)=61r−30−17r2=112r−64=8(14r−8)(17r-10)(3-r)=61r-30-17r^2=112r-64=8(14r-8). Подстановка r=(−3±17)/2r=(-3\pm\sqrt{17})/2 даёт указанные ординаты (−71±1717)/16(-71\pm17\sqrt{17})/16.

В точке перегиба y(1/5)=[(1/25)(−4/5)]/(36/25)=−4/180=−1/45y(1/5)=[(1/25)(-4/5)]/(36/25)=-4/180=-1/45. Деление многочленов проверяется тождеством x3−x2=(x−3)(x+1)2+5x+3x^3-x^2=(x-3)(x+1)^2+5x+3.
Демидович № 1479 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика