Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1478

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1478

Построить график функцииy=(1+x1−x)4y=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^4
ПостроениеВертикальная асимптота: x=1x=1; горизонтальная
асимптота: y=1y=1. Минимум достигается в точке (−1,0)(-1,0), точка
перегиба равна (−4,81625)\left(-4,\frac{81}{625}\right).

Построение

Область определения равнаD(y)=R∖{1}D(y)=\mathbb R\setminus\{1\}Функция неотрицательна. Её единственный нуль x=−1x=-1 имеет кратность
четыре, а y(0)=1y(0)=1.
При x→1x\to1 четвёртая степень устраняет различие знаков, поэтомуlim⁡x→1−y=+∞,lim⁡x→1+y=+∞,\lim_{x\to1^-}y=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to1^+}y=+\infty,и x=1x=1 является вертикальной асимптотой. При
x→±∞x\to\pm\infty дробь 1+x1−x\frac{1+x}{1-x} стремится к −1-1,
следовательно,lim⁡x→±∞y=1\lim_{x\to\pm\infty}y=1Таким образом, y=1y=1 --- горизонтальная асимптота. Вычитая единицу,
получаемy−1=(1+x)4−(1−x)4(1−x)4=8x(1+x2)(1−x)4y-1=
\frac{(1+x)^4-(1-x)^4}{(1-x)^4}
=\frac{8x(1+x^2)}{(1-x)^4}Значит, при x<0x<0 график лежит ниже асимптоты y=1y=1, при x>0x>0
--- выше неё и пересекает её только в точке (0,1)(0,1).

Производная равнаy′=8(1+x)3(1−x)5y'=\frac{8(1+x)^3}{(1-x)^5}Она отрицательна на (−∞,−1)( -\infty,-1), положительна на (−1,1)(-1,1) и
отрицательна на (1,+∞)(1,+\infty). Поэтому (−1,0)(-1,0) --- точка
минимума; на правой ветви экстремумов нет.

Вторая производная:y′′=16(x+4)(x+1)2(1−x)6y''=\frac{16(x+4)(x+1)^2}{(1-x)^6}Она меняет знак только при x=−4x=-4, поэтому единственная точка
перегиба имеет координаты(−4,(−35)4)=(−4,81625)\left(-4,\left(\frac{-3}{5}\right)^4\right)
=\left(-4,\frac{81}{625}\right)При x=−1x=-1 вторая производная также равна нулю, но знака не меняет.

Построение графика

Проводим асимптоты x=1x=1 и y=1y=1. Левая
непрерывная ветвь идёт от y=1y=1 к минимуму (−1,0)(-1,0), проходит
через (0,1)(0,1) и возрастает до +∞+\infty. Правая ветвь убывает от
+∞+\infty к y=1y=1. Ниже общего графика добавлен увеличенный
фрагмент левой ветви. Оранжевым цветом отмечена точка перегиба.
график к задаче Демидовича № 1478график к задаче Демидовича № 1478

Ответ

Вертикальная асимптота: x=1x=1; горизонтальная
асимптота: y=1y=1. Минимум достигается в точке (−1,0)(-1,0), точка
перегиба равна (−4,81625)\left(-4,\frac{81}{625}\right).

Проверка

Для производных сначала находим ((1+x)/(1−x))′=2/(1−x)2((1+x)/(1-x))'=2/(1-x)^2. Поэтомуy′=4(1+x1−x)32(1−x)2=8(1+x)3(1−x)5.y'=4\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3\frac2{(1-x)^2}
=\frac{8(1+x)^3}{(1-x)^5}.При повторном дифференцированииy′′=8(1+x)2[3(1−x)+5(1+x)](1−x)6=8(1+x)2(8+2x)(1−x)6=16(x+4)(x+1)2(1−x)6.y''=\frac{8(1+x)^2[3(1-x)+5(1+x)]}{(1-x)^6}
=\frac{8(1+x)^2(8+2x)}{(1-x)^6}
=\frac{16(x+4)(x+1)^2}{(1-x)^6}.Так получены коэффициенты и линейный множитель, определяющий точку перегиба.
Демидович № 1478 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика