Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1478

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1478

Построить график функцииy=(1+x1−x)4y=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^4
ПостроениеВертикальная асимптота: x=1x=1; горизонтальная
асимптота: y=1y=1. Минимум достигается в точке (−1,0)(-1,0), точка
перегиба равна (−4,81625)\left(-4,\frac{81}{625}\right).

Построение

Идея

Область определения равнаD(y)=R∖{1}D(y)=\mathbb R\setminus\{1\}Функция неотрицательна. Её единственный нуль x=−1x=-1 имеет кратность
четыре, а y(0)=1y(0)=1.
  1. 1
    При x→1x\to1 четвёртая степень устраняет различие знаков, поэтомуlim⁡x→1−y=+∞,lim⁡x→1+y=+∞,\lim_{x\to1^-}y=+\infty,
    \qquad
    \lim_{x\to1^+}y=+\infty,    и x=1x=1 является вертикальной асимптотой. При
    x→±∞x\to\pm\infty дробь 1+x1−x\frac{1+x}{1-x} стремится к −1-1,
    следовательно,lim⁡x→±∞y=1\lim_{x\to\pm\infty}y=1Таким образом, y=1y=1 — горизонтальная асимптота. Вычитая единицу,
    получаемy−1=(1+x)4−(1−x)4(1−x)4=8x(1+x2)(1−x)4y-1=
    \frac{(1+x)^4-(1-x)^4}{(1-x)^4}
    =\frac{8x(1+x^2)}{(1-x)^4}    Значит, при x<0x<0 график лежит ниже асимптоты y=1y=1, при x>0x>0
    — выше неё и пересекает её только в точке (0,1)(0,1).

    Производная равнаy′=8(1+x)3(1−x)5y'=\frac{8(1+x)^3}{(1-x)^5}Она отрицательна на (−∞,−1)( -\infty,-1), положительна на (−1,1)(-1,1) и
    отрицательна на (1,+∞)(1,+\infty). Поэтому (−1,0)(-1,0) — точка
    минимума; на правой ветви экстремумов нет.

    Вторая производная:y′′=16(x+4)(x+1)2(1−x)6y''=\frac{16(x+4)(x+1)^2}{(1-x)^6}Она меняет знак только при x=−4x=-4, поэтому единственная точка
    перегиба имеет координаты(−4,(−35)4)=(−4,81625)\left(-4,\left(\frac{-3}{5}\right)^4\right)
    =\left(-4,\frac{81}{625}\right)    При x=−1x=-1 вторая производная также равна нулю, но знака не меняет.
  2. 2

    Построение графика

    Проводим асимптоты x=1x=1 и y=1y=1. Левая
    непрерывная ветвь идёт от y=1y=1 к минимуму (−1,0)(-1,0), проходит
    через (0,1)(0,1) и возрастает до +∞+\infty. Правая ветвь убывает от
    +∞+\infty к y=1y=1. Ниже общего графика добавлен увеличенный
    фрагмент левой ветви. Оранжевым цветом отмечена точка перегиба.график к задаче Демидовича № 1478график к задаче Демидовича № 1478

Проверка

Ответ. Вертикальная асимптота: x=1x=1; горизонтальная
асимптота: y=1y=1. Минимум достигается в точке (−1,0)(-1,0), точка
перегиба равна (−4,81625)\left(-4,\frac{81}{625}\right).
Демидович № 1478 — решение и ответ