Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1477

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1477

Построить график функцииy=x4(1+x)3y=\frac{x^4}{(1+x)^3}
ПостроениеВертикальная асимптота: x=−1x=-1; наклонная асимптота:
y=x−3y=x-3. Экстремумы:
(−4,−25627)\left(-4,-\frac{256}{27}\right) и (0,0)(0,0).

Построение

Область определения:D(y)=R∖{−1}D(y)=\mathbb R\setminus\{-1\}Числитель не обращается в нуль при x=−1x=-1, поэтому x=−1x=-1 ---
вертикальная асимптота, причёмlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1^+}y=+\inftyВыполним деление многочленов:y=x−3+6x2+8x+3(x+1)3y=x-3+\frac{6x^2+8x+3}{(x+1)^3}Следовательно, y=x−3y=x-3 --- наклонная асимптота при
x→±∞x\to\pm\infty.
Уточним положение графика относительно этой асимптоты:y−(x−3)=6x2+8x+3(x+1)3y-(x-3)=\frac{6x^2+8x+3}{(x+1)^3}При этом6x2+8x+3=6(x+23)2+13>06x^2+8x+3
=6\left(x+\frac23\right)^2+\frac13>0Поэтому при x<−1x<-1 график лежит ниже прямой y=x−3y=x-3, а при
x>−1x>-1 --- выше неё. Наклонную асимптоту график не пересекает.

Производная равнаy′=x3(x+4)(x+1)4y'=\frac{x^3(x+4)}{(x+1)^4}Её нули: x=−4x=-4 и x=0x=0. Так как знаменатель положителен в
области определения, знак производной определяется произведением
x3(x+4)x^3(x+4). Поэтому функция возрастает на (−∞,−4]( -\infty,-4],
убывает на [−4,−1)[-4,-1) и (−1,0](-1,0], после чего возрастает на
[0,+∞)[0,+\infty). Экстремумы:y(−4)=−25627— локальный максимум,y(-4)=-\frac{256}{27}
\quad\text{--- локальный максимум},y(0)=0— локальный минимумy(0)=0
\quad\text{--- локальный минимум}Нуль x=0x=0 имеет кратность четыре, поэтому график касается оси
OxOx.

Вторая производная особенно проста:y′′=12x2(x+1)5y''=\frac{12x^2}{(x+1)^5}При x<−1x<-1 она отрицательна, а при x>−1x>-1 неотрицательна. В точке
x=0x=0 вторая производная обращается в нуль, но знака не меняет,
поэтому эта точка не является точкой перегиба.

Построение графика

Проводим асимптоты x=−1x=-1 и y=x−3y=x-3.
Левая ветвь имеет максимум
(−4,−25627)\left(-4,-\frac{256}{27}\right); правая убывает от +∞+\infty
до начала координат и затем возрастает, приближаясь к наклонной
асимптоте.график к задаче Демидовича № 1477

Ответ

Вертикальная асимптота: x=−1x=-1; наклонная асимптота:
y=x−3y=x-3. Экстремумы:
(−4,−25627)\left(-4,-\frac{256}{27}\right) и (0,0)(0,0).

Проверка

Промежуточные вычисления производных:y′=4x3(x+1)−3x4(x+1)4=x3(x+4)(x+1)4,y'=\frac{4x^3(x+1)-3x^4}{(x+1)^4}=\frac{x^3(x+4)}{(x+1)^4},y′′=(4x3+12x2)(x+1)−4x3(x+4)(x+1)5=4x4+16x3+12x2−4x4−16x3(x+1)5=12x2(x+1)5.y''=\frac{(4x^3+12x^2)(x+1)-4x^3(x+4)}{(x+1)^5}
=\frac{4x^4+16x^3+12x^2-4x^4-16x^3}{(x+1)^5}
=\frac{12x^2}{(x+1)^5}.Значение в максимуме: y(−4)=(−4)4/(−4+1)3=256/(−27)=−256/27y(-4)=(-4)^4/(-4+1)^3=256/(-27)=-256/27. Деление многочленов проверяется тождеством x4=(x−3)(x+1)3+6x2+8x+3x^4=(x-3)(x+1)^3+6x^2+8x+3.
Демидович № 1477 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика