Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1477

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1477

Построить график функцииy=x4(1+x)3y=\frac{x^4}{(1+x)^3}
ПостроениеВертикальная асимптота: x=−1x=-1; наклонная асимптота:
y=x−3y=x-3. Экстремумы:
(−4,−25627)\left(-4,-\frac{256}{27}\right) и (0,0)(0,0).

Построение

Идея

Область определения:D(y)=R∖{−1}D(y)=\mathbb R\setminus\{-1\}Числитель не обращается в нуль при x=−1x=-1, поэтому x=−1x=-1 —
вертикальная асимптота, причёмlim⁡x→−1−y=−∞,lim⁡x→−1+y=+∞\lim_{x\to-1^-}y=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1^+}y=+\inftyВыполним деление многочленов:y=x−3+6x2+8x+3(x+1)3y=x-3+\frac{6x^2+8x+3}{(x+1)^3}Следовательно, y=x−3y=x-3 — наклонная асимптота при
x→±∞x\to\pm\infty.
  1. 1
    Уточним положение графика относительно этой асимптоты:y−(x−3)=6x2+8x+3(x+1)3y-(x-3)=\frac{6x^2+8x+3}{(x+1)^3}При этом6x2+8x+3=6(x+23)2+13>06x^2+8x+3
    =6\left(x+\frac23\right)^2+\frac13>0    Поэтому при x<−1x<-1 график лежит ниже прямой y=x−3y=x-3, а при
    x>−1x>-1 — выше неё. Наклонную асимптоту график не пересекает.

    Производная равнаy′=x3(x+4)(x+1)4y'=\frac{x^3(x+4)}{(x+1)^4}Её нули: x=−4x=-4 и x=0x=0. Так как знаменатель положителен в
    области определения, знак производной определяется произведением
    x3(x+4)x^3(x+4). Поэтому функция возрастает на (−∞,−4]( -\infty,-4],
    убывает на [−4,−1)[-4,-1) и (−1,0](-1,0], после чего возрастает на
    [0,+∞)[0,+\infty). Экстремумы:y(−4)=−25627— локальный максимум,y(-4)=-\frac{256}{27}
    \quad\text{— локальный максимум},    y(0)=0— локальный минимумy(0)=0
    \quad\text{— локальный минимум}    Нуль x=0x=0 имеет кратность четыре, поэтому график касается оси
    OxOx.

    Вторая производная особенно проста:y′′=12x2(x+1)5y''=\frac{12x^2}{(x+1)^5}При x<−1x<-1 она отрицательна, а при x>−1x>-1 неотрицательна. В точке
    x=0x=0 вторая производная обращается в нуль, но знака не меняет,
    поэтому эта точка не является точкой перегиба.
  2. 2

    Построение графика

    Проводим асимптоты x=−1x=-1 и y=x−3y=x-3.
    Левая ветвь имеет максимум
    (−4,−25627)\left(-4,-\frac{256}{27}\right); правая убывает от +∞+\infty
    до начала координат и затем возрастает, приближаясь к наклонной
    асимптоте.график к задаче Демидовича № 1477

Проверка

Ответ. Вертикальная асимптота: x=−1x=-1; наклонная асимптота:
y=x−3y=x-3. Экстремумы:
(−4,−25627)\left(-4,-\frac{256}{27}\right) и (0,0)(0,0).
Демидович № 1477 — решение и ответ