Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1472

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1472

Построить график функцииy=1+x2−x42y=1+x^2-\frac{x^4}{2}
ПостроениеГрафик чётный; максимумы находятся в точках
(±1,32)(\pm1,\frac32), локальный минимум — в точке (0,1)(0,1), нули
равны ±1+3\pm\sqrt{1+\sqrt3}.

Построение

Функция определена на R\mathbb R и является чётной, поэтому её график
симметричен относительно оси OyOy. При ∣x∣→∞|x|\to\infty старший член
−x42-\frac{x^4}{2} определяет поведение функции:lim⁡x→±∞y=−∞\lim_{x\to\pm\infty}y=-\infty
Найдём нули. Положив t=x2⩾0t=x^2\geqslant0, получим1+t−t22=0⟺t2−2t−2=01+t-\frac{t^2}{2}=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
t^2-2t-2=0Из двух корней t=1±3t=1\pm\sqrt3 условию t⩾0t\geqslant0 удовлетворяет
только t=1+3t=1+\sqrt3. Следовательно,x=±1+3x=\pm\sqrt{1+\sqrt3}Производные равныy′=2x−2x3=2x(1−x2),y′′=2−6x2y'=2x-2x^3=2x(1-x^2),
\qquad
y''=2-6x^2Критические точки: x=−1,0,1x=-1,0,1. Знаки производной даютx(−∞,−1)−1(−1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′+0−0+0−\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
x&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
y'&+&0&-&0&+&0&-
\end{array}Поэтому в точках x=±1x=\pm1 находятся максимумыy(±1)=32,y(\pm1)=\frac32,а в точке x=0x=0 --- локальный минимум y(0)=1y(0)=1. Так как
y′′=0y''=0 при x=±13x=\pm\frac1{\sqrt3}, точки перегиба имеют координатыB±(±13,2318)B_{\pm}\left(\pm\frac1{\sqrt3},\frac{23}{18}\right)При ∣x∣<13|x|<\frac1{\sqrt3} имеем y′′>0y''>0, а при
∣x∣>13|x|>\frac1{\sqrt3} --- y′′<0y''<0.

Построение графика

Сначала строим правую половину графика по точкам
(0,1)(0,1), (13,2318)\left(\frac1{\sqrt3},\frac{23}{18}\right),
(1,32)(1,\frac32) и
(1+3,0)\left(\sqrt{1+\sqrt3},0\right), затем отражаем её относительно
оси OyOy. Оранжевым цветом отмечены точки перегиба.график к задаче Демидовича № 1472

Ответ

График чётный; максимумы находятся в точках
(±1,32)(\pm1,\frac32), локальный минимум --- в точке (0,1)(0,1), нули
равны ±1+3\pm\sqrt{1+\sqrt3}.

Проверка

Ординаты перегибов получены подстановкой x2=1/3x^2=1/3: y=1+1/3−(1/2)(1/9)=(18+6−1)/18=23/18y=1+1/3-(1/2)(1/9)=(18+6-1)/18=23/18. Знак y=2−6x2y=2-6x^2 меняется в каждой из двух указанных точек, поэтому обе действительно являются перегибами.
Демидович № 1472 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика