Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1472

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=1+x^2-\frac{x^4}{2}

ПостроениеГрафик чётный; максимумы находятся в точках

(\pm1,\frac32)

, локальный минимум — в точке

(0,1)

, нули
равны

\pm\sqrt{1+\sqrt3}

Построение

Идея

Функция определена на

\mathbb R

и является чётной, поэтому её график
симметричен относительно оси

Oy

. При

|x|\to\infty

старший член

-\frac{x^4}{2}

определяет поведение функции:

\lim_{x\to\pm\infty}y=-\infty

1
Найдём нули. Положив $t=x^2\geqslant0$ , получим $1+t-\frac{t^2}{2}=0\quad\Longleftrightarrow\quadt^2-2t-2=0$ Из двух корней $t=1\pm\sqrt3$ условию $t\geqslant0$ удовлетворяет
только $t=1+\sqrt3$ . Следовательно, $x=\pm\sqrt{1+\sqrt3}$ Производные равны $y'=2x-2x^3=2x(1-x^2),\qquady''=2-6x^2$ Критические точки: $x=-1,0,1$ . Знаки производной дают $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}x&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hliney'&+&0&-&0&+&0&-\end{array}$ Поэтому в точках $x=\pm1$ находятся максимумы $y(\pm1)=\frac32,$ а в точке $x=0$ — локальный минимум $y(0)=1$ . Так как
$y''=0$ при $x=\pm\frac1{\sqrt3}$ , точки перегиба имеют координаты $B_{\pm}\left(\pm\frac1{\sqrt3},\frac{23}{18}\right)$ При $|x|<\frac1{\sqrt3}$ имеем $y''>0$ , а при
$|x|>\frac1{\sqrt3}$ — $y''<0$ .
2
Построение графика
Сначала строим правую половину графика по точкам
$(0,1)$ , $\left(\frac1{\sqrt3},\frac{23}{18}\right)$ ,
$(1,\frac32)$ и
$\left(\sqrt{1+\sqrt3},0\right)$ , затем отражаем её относительно
оси $Oy$ . Оранжевым цветом отмечены точки перегиба. $график к задаче Демидовича № 1472$

Проверка

Ответ. График чётный; максимумы находятся в точках

(\pm1,\frac32)

, локальный минимум — в точке

(0,1)

, нули
равны

\pm\sqrt{1+\sqrt3}