Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1471

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1471

Построить график функцииy=3x−x2y=3x-x^2
ПостроениеГрафик — парабола с вершиной
(32,94)\left(\frac32,\frac94\right), осью симметрии x=32x=\frac32 и
нулями 00 и 33.

Построение

Идея

Область определения функции — вся числовая прямая. Выделим полный
квадрат:y=3x−x2=−(x−32)2+94y=3x-x^2
=-\left(x-\frac32\right)^2+\frac94Следовательно, график является параболой с ветвями, направленными вниз.
Её ось симметрии и вершина имеют видx=32,A(32,94)x=\frac32,
\qquad
A\left(\frac32,\frac94\right)Нули функции находятся непосредственно из разложенияy=x(3−x):x1=0,x2=3y=x(3-x):
\qquad
x_1=0,
\quad
x_2=3
  1. 1
    Для проверки монотонности вычислим производные:y′=3−2x,y′′=−2<0y'=3-2x,
    \qquad
    y''=-2<0    Поэтому функция возрастает на
    (−∞,32]\left(-\infty,\frac32\right], убывает на
    [32,+∞)\left[\frac32,+\infty\right), а в вершине достигает наибольшего
    значения 94\frac94. Точек перегиба нет.
  2. 2

    Построение графика

    Отмечаем точки (0,0)(0,0), (3,0)(3,0) и вершину
    A(32,94)A\left(\frac32,\frac94\right), после чего проводим симметричную
    относительно прямой x=32x=\frac32 параболу.график к задаче Демидовича № 1471

Проверка

Ответ. График — парабола с вершиной
(32,94)\left(\frac32,\frac94\right), осью симметрии x=32x=\frac32 и
нулями 00 и 33.
Демидович № 1471 — решение и ответ