Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1469

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни:

Задача 1469

ch⁡x=kx\operatorname{ch} x=kx

Решение

Точка x=0x = 0 не является корнем (так как ch⁡0=1≠0\operatorname{ch} 0 = 1 \ne 0). Для x≠0x \ne 0 преобразуем уравнение:
ch⁡xx=k\frac{\operatorname{ch} x}{x} = kРассмотрим функцию:f(x)=ch⁡xxf(x) = \frac{\operatorname{ch} x}{x}Функция является нечётной, так как f(−x)=ch⁡(−x)−x=−f(x)f(-x) = \frac{\operatorname{ch}(-x)}{-x} = -f(x). График симметричен относительно начала координат.
Исследуем функцию при x>0x > 0. Найдём производную:f′(x)=xsh⁡x−ch⁡xx2f'(x) = \frac{x\operatorname{sh} x - \operatorname{ch} x}{x^2}Знак производной определяется числителем g(x)=xsh⁡x−ch⁡xg(x) = x\operatorname{sh} x - \operatorname{ch} x.
Продифференцируем числитель:g′(x)=sh⁡x+xch⁡x−sh⁡x=xch⁡xg'(x) = \operatorname{sh} x + x\operatorname{ch} x - \operatorname{sh} x = x\operatorname{ch} xПри x>0x > 0 имеем g′(x)>0g'(x) > 0, функция g(x)g(x) строго возрастает. Поскольку g(0)=−1g(0) = -1 и lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty, уравнение g(x)=0g(x) = 0 имеет ровно один положительный корень x0x_0.
В точке x0x_0 выполняется соотношение:x0sh⁡x0=ch⁡x0  ⟹  x0=cth⁡x0x_0\operatorname{sh} x_0 = \operatorname{ch} x_0 \implies x_0 = \operatorname{cth} x_0На интервале (0,x0)(0, x_0) производная f′(x)<0f'(x) < 0, функция f(x)f(x) убывает. На интервале (x0,+∞)(x_0, +\infty) производная f′(x)>0f'(x) > 0, функция f(x)f(x) возрастает.
Следовательно, в точке x0x_0 функция f(x)f(x) достигает локального минимума:k0=f(x0)=ch⁡x0x0=sh⁡x0k_0 = f(x_0) = \frac{\operatorname{ch} x_0}{x_0} = \operatorname{sh}x_0Учитывая нечётность f(x)f(x), в точке −x0-x_0 достигается локальный максимум f(−x0)=−k0f(-x_0) = -k_0.
Анализируем число пересечений графика y=f(x)y = f(x) с горизонтальной прямой y=ky = k:
Если ∣k∣<k0|k| < k_0, прямая лежит в области между локальным максимумом левой ветви и локальным минимумом правой ветви, корней нет (00 корней).
Если ∣k∣=k0|k| = k_0, прямая касается графика в одном из экстремумов, уравнение имеет 11 корень.
Если ∣k∣>k0|k| > k_0, прямая пересекает одну из ветвей графика дважды, уравнение имеет 22 корня.

Проверка

Для определения константы достаточно точного условия: x0x_0 — единственный положительный корень xsinh⁡x−cosh⁡x=0x\sinh x-\cosh x=0. Его можно отделить интервалом (1,2)(1,2), посколькуg(1)=sinh⁡1−cosh⁡1=−e−1<0,g(1)=\sinh1-\cosh1=-e^{-1}<0,g(2)=2sinh⁡2−cosh⁡2=(e2−3e−2)/2>0.g(2)=2\sinh2-\cosh2=(e^2-3e^{-2})/2>0.Последнее неравенство равносильно e4>3e^4>3, что следует из e>2e>2. Предел g(x)→+∞g(x)\to+\infty виден из формулы g(x)=((x−1)ex−(x+1)e−x)/2g(x)=((x-1)e^x-(x+1)e^{-x})/2.

У правой ветви f(x)=cosh⁡x/xf(x)=\cosh x/x оба крайних предела равны +∞+\infty: при x→0+x\to0+ это следует из cosh⁡x→1\cosh x\to1, а при x→+∞x\to+\infty — из f(x)≥ex/(2x)→+∞f(x)\ge e^x/(2x)\to+\infty. Поэтому при k>k0k>k_0 корни лежат по одному в (0,x0)(0,x_0) и (x0,+∞)(x_0,+\infty); при k=k0k=k_0 корень равен x0x_0. При k<−k0k<-k_0 корни лежат в (−∞,−x0)(-\infty,-x_0) и (−x0,0)(-x_0,0), а при k=−k0k=-k_0 корень равен −x0-x_0. Знаки корней совпадают со знаком kk, так как cosh⁡x>0\cosh x>0.
Демидович № 1469 — решение | Высшая математика — Профиматика