Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1466

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни:

Задача 1466

\ln x=kx

Решение

Область допустимых значений

x > 0

.
При

k \le 0

левая часть

\ln x

принимает все значения от

-\infty

до

+\infty

, а правая часть

kx \le 0

. Функция

h(x) = \ln x - kx

монотонно возрастает (так как

h'(x) = \frac{1}{x} - k > 0

), переходя от

-\infty

+\infty

. Следовательно, при

k \le 0

уравнение имеет ровно

1

корень.
Для

k > 0

преобразуем уравнение к виду:

\frac{\ln x}{x} = k

Исследуем функцию:

g(x) = \frac{\ln x}{x}

Её производная:

g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}

Критическая точка

x = e

. В этой точке функция достигает глобального максимума, так как при

x < e

производная положительна, а при

x > e

отрицательна:

g_{\max} = g(e) = \frac{1}{e}

Пределы на концах области определения:

\lim_{x \to 0+} \frac{\ln x}{x} = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0

Анализируя пересечения графика

y = g(x)

с горизонтальной прямой

y = k

:
Если

k > \frac{1}{e}

, уравнение не имеет корней (

0

корней).
Если

k = \frac{1}{e}

, уравнение имеет

1

корень (

x = e

).
Если

0 < k < \frac{1}{e}

, уравнение имеет

2

корня.
Объединяя с результатом для

k \le 0

, получаем окончательный ответ:
При

k \le 0

—

1

корень;
При

0 < k < \frac{1}{e}

—

2

корня;
При

k = \frac{1}{e}

—

1

корень;
При

k > \frac{1}{e}

—

0

корней.

Проверка

Корни отделяются так: при

k<0

единственный корень лежит в

(0,1)

, поскольку

\ln x=kx<0

; при

k=0

он равен

1

. При

0<k<1/e

имеется по одному корню в

(1,e)

(e,+\infty)

; при

k=1/e

корень равен

e

. Непрерывность и строгая монотонность на этих интервалах обосновывают единственность каждого корня.