Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1466

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1466

ln⁡x=kx\ln x=kx

Решение

Идея

Область допустимых значений x>0x > 0.
При k≤0k \le 0 левая часть ln⁡x\ln x принимает все значения от −∞-\infty до +∞+\infty, а правая часть kx≤0kx \le 0. Функция h(x)=ln⁡x−kxh(x) = \ln x - kx монотонно возрастает (так как h′(x)=1x−k>0h'(x) = \frac{1}{x} - k > 0), переходя от −∞-\infty к +∞+\infty. Следовательно, при k≤0k \le 0 уравнение имеет ровно 11 корень.
Для k>0k > 0 преобразуем уравнение к виду:
ln⁡xx=k\frac{\ln x}{x} = kИсследуем функцию:g(x)=ln⁡xxg(x) = \frac{\ln x}{x}Её производная:g′(x)=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}Критическая точка x=ex = e. В этой точке функция достигает глобального максимума, так как при x<ex < e производная положительна, а при x>ex > e отрицательна:gmax⁡=g(e)=1eg_{\max} = g(e) = \frac{1}{e}Пределы на концах области определения:lim⁡x→0+ln⁡xx=−∞,lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim_{x \to 0+} \frac{\ln x}{x} = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0Анализируя пересечения графика y=g(x)y = g(x) с горизонтальной прямой y=ky = k:
Если k>1ek > \frac{1}{e}, уравнение не имеет корней (00 корней).
Если k=1ek = \frac{1}{e}, уравнение имеет 11 корень (x=ex = e).
Если 0<k<1e0 < k < \frac{1}{e}, уравнение имеет 22 корня.
Объединяя с результатом для k≤0k \le 0, получаем окончательный ответ:
При k≤0k \le 0 — 11 корень;
При 0<k<1e0 < k < \frac{1}{e} — 22 корня;
При k=1ek = \frac{1}{e} — 11 корень;
При k>1ek > \frac{1}{e} — 00 корней.
Демидович № 1466 — решение