Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Демидович — задача 1464

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни:

Задача 1464

3x4−4x3−6x2+12x−20=03x^4-4x^3-6x^2+12x-20=0

Решение

Рассмотрим функцию:f(x)=3x4−4x3−6x2+12x−20f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 12x - 20Найдём её первую производную:f′(x)=12x3−12x2−12x+12=12(x3−x2−x+1)=12(x2(x−1)−(x−1))=12(x−1)2(x+1)f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 12x + 12 = 12(x^3 - x^2 - x + 1) = 12(x^2(x-1) - (x-1)) = 12(x-1)^2(x+1)Приравняем к нулю и получим критические точки:x1=−1,x2=1x_1 = -1, \quad x_2 = 1Определим знаки производной:
При x<−1x < -1 производная f′(x)<0f'(x) < 0, функция убывает.
При −1<x<1-1 < x < 1 производная f′(x)>0f'(x) > 0, функция возрастает.
При x>1x > 1 производная f′(x)>0f'(x) > 0, функция продолжает возрастать.
Таким образом, x=−1x = -1 — точка глобального минимума, а в точке x=1x = 1 экстремума нет (это точка перегиба с горизонтальной касательной).
Вычислим значение функции в минимуме:fmin⁡=f(−1)=3+4−6−12−20=−31f_{\min} = f(-1) = 3 + 4 - 6 - 12 - 20 = -31В точке перегиба:f(1)=3−4−6+12−20=−15f(1) = 3 - 4 - 6 + 12 - 20 = -15Поскольку минимальное значение отрицательно, а пределы на бесконечностях равны +∞+\infty, функция пересекает ось абсцисс ровно 22 раза (один раз на промежутке (−∞,−1)(-\infty, -1) и один раз на промежутке (−1,+∞)(-1, +\infty)).
Отделим эти корни, вычисляя значения функции:f(−2)=3(16)−4(−8)−6(4)+12(−2)−20=48+32−24−24−20=12f(-2) = 3(16) - 4(-8) - 6(4) + 12(-2) - 20 = 48 + 32 - 24 - 24 - 20 = 12Так как f(−2)>0f(-2) > 0 и f(−1)<0f(-1) < 0, первый корень находится в интервале:x∈(−2,−1)x \in (-2, -1)Ищем второй корень:f(2)=3(16)−4(8)−6(4)+12(2)−20=48−32−24+24−20=−4f(2) = 3(16) - 4(8) - 6(4) + 12(2) - 20 = 48 - 32 - 24 + 24 - 20 = -4f(3)=3(81)−4(27)−6(9)+12(3)−20=243−108−54+36−20=97f(3) = 3(81) - 4(27) - 6(9) + 12(3) - 20 = 243 - 108 - 54 + 36 - 20 = 97Так как f(2)<0f(2) < 0 и f(3)>0f(3) > 0, второй корень находится в интервале:x∈(2,3)x \in (2, 3)

Проверка

Для упомянутого перегиба f′′(x)=36x2−24x−12=12(3x+1)(x−1)f''(x)=36x^2-24x-12=12(3x+1)(x-1) меняет знак с минуса на плюс при переходе через x=1x=1; при этом f′(1)=0f'(1)=0. Непрерывность многочлена и строгая монотонность на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,+∞)(-1,+\infty) гарантируют единственность корня в каждом из выделенных интервалов.
Демидович № 1464 — решение | Высшая математика — Профиматика