ДВИ МГУ по математике — 2021, Поток 6

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением (3+13−1⋅sin⁡π4−2)4−14.\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot\sin\frac{\pi}{4}-\sqrt{2}\right)^{4}-\dfrac{1}{4}.
Задача 2МГУ
Футболист Федот сыграл в трёх матчах на чемпионате. Премиальная выплата Федота за второй матч в связи с отличной игрой была на nn процентов больше, чем за первый. В третьем же матче Федот не сумел показать хорошую игру и его премия за этот матч оказалась на nn процентов меньше, чем за второй матч. Найдите nn, если известно, что премия за третий матч составила 64%64\% от премии за первый матч.
Задача 3МГУ
Решите уравнение ctg⁡x−2ctg⁡2x=23cos⁡x\ctg x-2\ctg 2x=\dfrac{2}{3}\cos x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡x−1x2−7x+12x−5⩽2.\log_{\sqrt{x-1}}\dfrac{x^{2}-7x+12}{x-5}\leqslant 2.
Задача 5МГУ
Окружность Ω1\Omega_1 с центром O1O_1 пересекает окружность Ω2\Omega_2 с центром O2O_2 в точках AA и BB. При этом точки O1O_1 и O2O_2 лежат вне Ω2\Omega_2 и Ω1\Omega_1 соответственно. Касательная к окружности Ω1\Omega_1 в точке AA пересекает Ω1\Omega_1 в точках AA и CC. Касательная к окружности Ω1\Omega_1 в точке AA пересекает Ω2\Omega_2 в точках AA и DD. Найдите угол между прямыми O1CO_1C и O2DO_2D, если известно, что ∠AO1B=36∘\angle AO_1B=36^\circ и ∠AO2B=64∘\angle AO_2B=64^\circ.
Задача 6МГУ
Найдите все пары действительных чисел (x,y)(x,y), удовлетворяющих равенству π2−arcsin⁡(1+log⁡2(x2+y2))=1+log⁡2(xy).\dfrac{\pi}{2}-\arcsin\left(1+\log_{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)=1+\log_{2}(xy).
Задача 7МГУ
Дан параллелепипед ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' с основаниями ABCDABCD, A′B′C′D′A'B'C'D' и боковыми рёбрами AA′AA', BB′BB', CC′CC', DD′DD'. Все рёбра параллелепипеда равны. Плоские углы при вершине BB также равны. Известно, что центр сферы, описанной около тетраэдра AB′CD′AB'CD', лежит в плоскости AB′CAB'C. Радиус этой сферы равен 2. Найдите длину ребра параллелепипеда.