ДВИ МГУ по математике — 2021, Поток 3

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением (3sin⁡π2log⁡216−49)−1.\left(\dfrac{3\sin\frac{\pi}{2}}{\log_{2}16}-\sqrt{\dfrac{4}{9}}\right)^{-1}.
Задача 2МГУ
Автовладелец Авдей продал автосалону свой автомобиль за 60%60\% его первоначальной стоимости. Автосалон выставил на продажу этот автомобиль за цену, на 20%20\% большую уплаченной Авдею. Какова доля получившейся цены по отношению к первоначальной?
Задача 3МГУ
Решите уравнение 2⋅sin⁡3x−sin⁡xcos⁡3x+cos⁡x=3 (1−tg⁡2x)2\cdot\dfrac{\sin 3x-\sin x}{\cos 3x+\cos x}=\sqrt{3}\,(1-\tg^2 x).
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡x−1(x+1)−log⁡x+1(x−1)⩾1.\log_{x-1}(x+1)-\log_{\sqrt{x+1}}(x-1)\geqslant 1.
Задача 5МГУ
В четырёхугольник ABCDABCD площади 22 вписана окружность, касающаяся сторон ABAB и CDCD в точках KK и LL соответственно. Отрезок KLKL пересекает диагональ ACAC в точке MM. Найдите BDBD, если известно, что AM=MC=1AM=MC=1.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра a,a, при которых неравенство ,sin⁡6x+cos⁡6x+a⋅sin⁡2x≥a2,,\sin^6 x+\cos^6 x+a\cdot\sin 2x\ge a^2, выполняется для всех действительных x.x.
Задача 7МГУ
Вписанная в треугольную пирамиду ABCDABCD сфера касается граней BCDBCD, ACDACD, ABDABD и ABCABC в точках A1A_1, B1B_1, C1C_1 и D1D_1 соответственно. Известно, что D1D_1 является точкой пересечения высот треугольника ABCABC, что плоскости ABCABC и A1B1C1A_1B_1C_1 параллельны и что радиус окружности, описанной около треугольника ABCABC, в четыре раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника A1B1C1A_1B_1C_1. Найдите отношение, в котором сфера делит отрезок DD1DD_1, считая от вершины DD.