Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением (log2163sin2π−94)−1.
Ответ:12
Решение
(log2163sin2π−94)−1=(43−32)−1=12.
Задача 2МГУ
Автовладелец Авдей продал автосалону свой автомобиль за 60% его первоначальной стоимости. Автосалон выставил на продажу этот автомобиль за цену, на 20% большую уплаченной Авдею. Какова доля получившейся цены по отношению к первоначальной?
Ответ:72\%
Решение
Обозначим через x первоначальную стоимость автомобиля. Тогда итоговая цена равна 1,2⋅0,6x=0,72x.
В четырёхугольник ABCD площади 2 вписана окружность, касающаяся сторон AB и CD в точках K и L соответственно. Отрезок KL пересекает диагональ AC в точке M. Найдите BD, если известно, что AM=MC=1.
Ответ:BD=2
Решение
Поскольку K и L — точки касания, углы ∠BKL и ∠CLK равны. По теореме синусов: sin∠AMKAK=sin∠AKMAM=sin∠CLMCM=sin∠CMLCL, откуда AK=CL. Пусть N — точка касания со стороной BC. Тогда CL=CN,BN=BK, поэтому AB=BC и аналогично AD=CD. Значит AC⊥BD,SABCD=21AC⋅BD=BD⋅AM=BD,BD=2.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство ,sin6x+cos6x+a⋅sin2x≥a2, выполняется для всех действительных x.
Ответ:21−2≤a≤22−1
Решение
Заметим, что sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x−sin2xcos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2−3sin2xcos2x=1−43sin22x. Положим t=sin2x. Задача в том, чтобы описать все значения a, при которых для каждого t∈[−1,1] справедливо 3t2−4at+4(a2−1)≤0. Это выполняется тогда и только тогда, когда для f(t)=3t2−4at+4(a2−1) справедливо f(−1)≤0 и f(1)≤0. Получаем {4a2+4a−1≤04a2−4a−1≤0⟺⎩⎨⎧2−1−2≤a≤2−1+221−2≤a≤21+2⟺21−2≤a≤22−1.
Задача 7МГУ
Вписанная в треугольную пирамиду ABCD сфера касается граней BCD,ACD,ABD и ABC в точках A1,B1,C1 и D1 соответственно. Известно, что D1 является точкой пересечения высот треугольника ABC, что плоскости ABC и A1B1C1 параллельны и что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, в четыре раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника A1B1C1. Найдите отношение, в котором сфера делит отрезок DD1, считая от вершины D.
Ответ:1:2
Решение
Пусть O — центр сферы и пусть A2,B2,C2 — основания высот треугольника ABC, опущенных из вершин A,B,C соответственно. Рассмотрим четырёхугольники OA1A2D1,OB1B2D1,OC1C2D1. Каждый из них состоит из двух равных прямоугольных треугольников. При этом катеты OD1,OA1,OB1,OC1 равны. Из равенства расстояний от A1,B1,C1 до плоскости ABC следует, что равны углы D1OA1,D1OB1,D1OC1, а стало быть, равны и углы D1A2A1,D1B2B1,D1C2C1. Значит, равны отрезки D1A2,D1B2,D1C2, то есть D1 является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC. При этом D1 — это ортоцентр ABC. Стало быть, треугольник ABC правильный. Поскольку углы D1A2A1,D1B2B1,D1C2C1 равны, DD1 — высота пирамиды. Опустим из A1 перпендикуляр A1D2 на DD1. Тогда радиус окружности, описанной около A1B1C1, равен A1D2. Радиус же окружности, описанной около ABC, равен AD1. Получаем, что A2D1=21AD1=21⋅4A1D2=2A1D2. Отсюда видим, что ∠D1A2A1=60∘. Стало быть, DD1=3A2D1=3⋅3OD1=3OD1. Получаем, что искомое отношение равно (DD1−2OD1):2OD1=1:2.
Поскольку 
Пусть