ДВИ МГУ по математике — 2021, Поток 5

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением 27132512+log⁡52532⋅cos⁡π4+4115.\dfrac{27^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{\log_{5}25}{3\sqrt{2}\cdot\cos\frac{\pi}{4}}+\dfrac{41}{15}.
Задача 2МГУ
Любитель коктейлей Игнат смешал 300300 мл морковного сока с 200200 мл сливок. Тщательно перемешав полученную смесь, Игнат попробовал её на вкус и решил, что сливок оказалось слишком много. Игнат налил в полулитровый графин 200200 мл морковного сока, а оставшиеся 300300 мл заполнил приготовленной смесью. Каково процентное содержание сливок в полученном напитке?
Задача 3МГУ
Решите уравнение 4sin⁡2xcos⁡3x−2sin⁡5x=tg⁡2x4\sin 2x\cos 3x-2\sin 5x=\tg 2x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡x−1(4log⁡3x−6xlog⁡32+10)⩽0.\log_{x-1}\left(4^{\log_{3}x}-6x^{\log_{3}2}+10\right)\leqslant 0.
Задача 5МГУ
Дана равнобокая трапеция ABCDABCD с основаниями ABAB и CDCD. Известно, что окружности, вписанные в треугольники ABCABC и ACDACD, касаются диагонали ACAC в одной и той же точке. При этом точка касания первой окружности со стороной BCBC делит эту сторону пополам. Найдите отношение, в котором точка касания второй окружности со стороной ADAD делит эту сторону, считая от точки AA.
Задача 6МГУ
Найдите все пары действительных чисел (x,y)(x,y) с наименьшим возможным значением yy, удовлетворяющие неравенству log⁡x2−y(x−y2+74)⩾1.\log_{x^{2}-y}\left(x-y^{2}+\dfrac{7}{4}\right)\geqslant1.
Задача 7МГУ
Сфера касается всех рёбер тетраэдра ABCDABCD. Известно, что произведения длин скрещивающихся рёбер равны. Известно также, что AB=3AB=3, BC=1BC=1. Найдите ACAC.