Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ДВИ МГУ по математике — 2021, Поток 5

Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением 27132512+log⁡52532⋅cos⁡π4+4115.\dfrac{27^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{\log_{5}25}{3\sqrt{2}\cdot\cos\frac{\pi}{4}}+\dfrac{41}{15}.2521​2731​​+32​⋅cos4π​log5​25​+1541​.
Ответ:4

Решение

27132512+log⁡52532⋅cos⁡π4+4115=35+23+4115=9+10+4115=4.\dfrac{27^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{\log_{5}25}{3\sqrt{2}\cdot\cos\frac{\pi}{4}}+\dfrac{41}{15}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{41}{15}=\dfrac{9+10+41}{15}=4.2521​2731​​+32​⋅cos4π​log5​25​+1541​=53​+32​+1541​=159+10+41​=4.
Задача 2МГУ
Любитель коктейлей Игнат смешал 300300300 мл морковного сока с 200200200 мл сливок. Тщательно перемешав полученную смесь, Игнат попробовал её на вкус и решил, что сливок оказалось слишком много. Игнат налил в полулитровый графин 200200200 мл морковного сока, а оставшиеся 300300300 мл заполнил приготовленной смесью. Каково процентное содержание сливок в полученном напитке?
Ответ:24\%

Решение

В первоначальной смеси было 25\dfrac{2}{5}52​ сливок. В графине смесь занимает 35\dfrac{3}{5}53​ объёма. Значит, доля сливок в итоговой смеси равна 25⋅35=625,\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{25},52​⋅53​=256​, то есть 24%.24\%.24%.
Задача 3МГУ
Решите уравнение 4sin⁡2xcos⁡3x−2sin⁡5x=tg⁡2x4\sin 2x\cos 3x-2\sin 5x=\tg 2x4sin2xcos3x−2sin5x=tg2x.
Ответ:x=kπ, ±π3+2kπ, k∈Zx=k\pi,\ \pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}x=kπ, ±3π​+2kπ, k∈Z

Решение

4sin⁡2xcos⁡3x−2sin⁡5x=tg⁡2x  ⟺  2sin⁡2xcos⁡3x−2cos⁡2xsin⁡3x=tg⁡2x  ⟺  4\sin 2x\cos 3x-2\sin 5x=\tg 2x\iff 2\sin 2x\cos 3x-2\cos 2x\sin 3x=\tg 2x\iff4sin2xcos3x−2sin5x=tg2x⟺2sin2xcos3x−2cos2xsin3x=tg2x⟺ −2sin⁡x=tg⁡2x  ⟺  sin⁡x(2cos⁡2x+2cos⁡x)cos⁡2x=0  ⟺  sin⁡x(2cos⁡2x+cos⁡x−1)cos⁡2x=0  ⟺  -2\sin x=\tg 2x\iff\frac{\sin x(2\cos 2x+2\cos x)}{\cos 2x}=0\iff\frac{\sin x(2\cos^2 x+\cos x-1)}{\cos 2x}=0\iff−2sinx=tg2x⟺cos2xsinx(2cos2x+2cosx)​=0⟺cos2xsinx(2cos2x+cosx−1)​=0⟺ sin⁡x(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)cos⁡2x=0  ⟺  {[sin⁡x=0cos⁡x=−1cos⁡x=12cos⁡2x≠0  ⟺  [x=kπx=±π3+2kπ, k∈Z\frac{\sin x(2\cos x-1)(\cos x+1)}{\cos 2x}=0\iff\begin{cases}\left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=-1\\ \cos x=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.\\ \cos 2x\neq 0\end{cases}\iff\left[\begin{array}{l}x=k\pi\\ x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\end{array}\right.,\ k\in\mathbb{Z}cos2xsinx(2cosx−1)(cosx+1)​=0⟺⎩⎨⎧​​sinx=0cosx=−1cosx=21​​cos2x=0​⟺[x=kπx=±3π​+2kπ​, k∈Z
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡x−1(4log⁡3x−6xlog⁡32+10)⩽0.\log_{x-1}\left(4^{\log_{3}x}-6x^{\log_{3}2}+10\right)\leqslant 0.logx−1​(4log3​x−6xlog3​2+10)⩽0.
Ответ:x∈(1,2)∪{3log⁡23}x\in(1,2)\cup\left\{3^{\log_{2}3}\right\}x∈(1,2)∪{3log2​3}

Решение

log⁡x−1(4log⁡3x−6xlog⁡32+10)⩽0  ⟺  log⁡x−1(4log⁡3x−6⋅2log⁡3x+10)⩽0  ⟺  \log_{x-1}\left(4^{\log_{3}x}-6x^{\log_{3}2}+10\right)\leqslant 0\iff\log_{x-1}\left(4^{\log_{3}x}-6\cdot 2^{\log_{3}x}+10\right)\leqslant 0\ifflogx−1​(4log3​x−6xlog3​2+10)⩽0⟺logx−1​(4log3​x−6⋅2log3​x+10)⩽0⟺   ⟺  log⁡x−1((2log⁡3x−3)2+1)⩽0  ⟺  ln⁡((2log⁡3x−3)2+1)ln⁡(x−1)⩽0  ⟺  \iff\log_{x-1}\left(\left(2^{\log_{3}x}-3\right)^{2}+1\right)\leqslant 0\iff\dfrac{\ln\left(\left(2^{\log_{3}x}-3\right)^{2}+1\right)}{\ln(x-1)}\leqslant 0\iff⟺logx−1​((2log3​x−3)2+1)⩽0⟺ln(x−1)ln((2log3​x−3)2+1)​⩽0⟺   ⟺  {(2log⁡3x−3)2x−2⩽0x>1  ⟺  [1<x<2x=3log⁡23\iff\begin{cases}\dfrac{\left(2^{\log_{3}x}-3\right)^{2}}{x-2}\leqslant 0\\[2mm]x>1\end{cases}\iff\left[\begin{array}{l}1<x<2\\[1mm]x=3^{\log_{2}3}\end{array}\right.⟺⎩⎨⎧​x−2(2log3​x−3)2​⩽0x>1​⟺[1<x<2x=3log2​3​
Задача 5МГУ
Дана равнобокая трапеция ABCDABCDABCD с основаниями ABABAB и CDCDCD. Известно, что окружности, вписанные в треугольники ABCABCABC и ACDACDACD, касаются диагонали ACACAC в одной и той же точке. При этом точка касания первой окружности со стороной BCBCBC делит эту сторону пополам. Найдите отношение, в котором точка касания второй окружности со стороной ADADAD делит эту сторону, считая от точки AAA.
Ответ:(3+23):1(3+2\sqrt{3}):1(3+23​):1

Решение

Изображение 1 Пусть K,L,M,NK,L,M,NK,L,M,N — точки касания окружностей с отрезками AB,BC,CD,AD.AB, BC, CD, AD.AB,BC,CD,AD. Без ограничения общности BL=1,BL=1,BL=1, тогда BK=BL=CL=CO=CM=1,BK=BL=CL=CO=CM=1,BK=BL=CL=CO=CM=1, а так как DN=DM=y,DN=DM=y,DN=DM=y, обе окружности касаются ACACAC в одной точке O:AK=AO=AN=x.O: AK=AO=AN=x.O:AK=AO=AN=x. Искомое отношение AN:ND=x:y.AN:ND=x:y.AN:ND=x:y. Заметим x+y=AD=BC=2.x+y=AD=BC=2.x+y=AD=BC=2. Опустим высоту CH:AC2−AH2=CH2=BC2−BH2,AH=x+1,BH=AB−x−1=x−1.CH: AC^2-AH^2=CH^2=BC^2-BH^2, AH=x+1, BH=AB-x-1=x-1.CH:AC2−AH2=CH2=BC2−BH2,AH=x+1,BH=AB−x−1=x−1. (x+1)2−4=4−(x−1)2 ⟹ x2=3, x=3, y=2−3.(x+1)^2-4=4-(x-1)^2\ \Longrightarrow\ x^2=3,\ x=\sqrt{3},\ y=2-\sqrt{3}.(x+1)2−4=4−(x−1)2 ⟹ x2=3, x=3​, y=2−3​. xy=32−3=3+23.\dfrac{x}{y}=\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=3+2\sqrt{3}.yx​=2−3​3​​=3+23​.
Задача 6МГУ
Найдите все пары действительных чисел (x,y)(x,y)(x,y) с наименьшим возможным значением yyy, удовлетворяющие неравенству log⁡x2−y(x−y2+74)⩾1.\log_{x^{2}-y}\left(x-y^{2}+\dfrac{7}{4}\right)\geqslant1.logx2−y​(x−y2+47​)⩾1.
Ответ:(x,y)=(12, −1)(x,y)=\left(\dfrac{1}{2},\,-1\right)(x,y)=(21​,−1)

Решение

При y⩽x2−1y\leqslant x^{2}-1y⩽x2−1 неравенство равносильно x−y2+74⩾x2−y,x-y^{2}+\tfrac{7}{4}\geqslant x^{2}-y,x−y2+47​⩾x2−y, то есть (x−12)2+(y−12)2⩽(32)2.\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}\leqslant\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}.(x−21​)2+(y−21​)2⩽(23​)2. Это неравенство задаёт круг с центром (12,12)\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)(21​,21​) и радиусом 32.\tfrac{3}{2}.23​. Самая нижняя точка имеет координаты (12,−1)\left(\tfrac{1}{2},-1\right)(21​,−1) и удовлетворяет ограничению y⩽x2−1.y\leqslant x^{2}-1.y⩽x2−1. При y>x2−1y>x^{2}-1y>x2−1 для каждой пары (x,y),(x,y),(x,y), удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо y>−1.y>-1.y>−1. Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки (12,−1).\left(\tfrac{1}{2},-1\right).(21​,−1).
Задача 7МГУ
Сфера касается всех рёбер тетраэдра ABCDABCDABCD. Известно, что произведения длин скрещивающихся рёбер равны. Известно также, что AB=3AB=3AB=3, BC=1BC=1BC=1. Найдите ACACAC.
Ответ:3

Решение

Изображение 1 Расстояния от вершины AAA до точек касания сферы с рёбрами AB,AC,ADAB, AC, ADAB,AC,AD равны. Обозначим это расстояние a.a.a. Соответствующие расстояния от вершин B,C,DB, C, DB,C,D обозначим b,c,db, c, db,c,d соответственно. Тогда (a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)=(a+d)(b+c),(a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)=(a+d)(b+c),(a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)=(a+d)(b+c), откуда (a−c)(b−d)=0(a-c)(b-d)=0(a−c)(b−d)=0 и (a−b)(c−d)=0.(a-b)(c-d)=0.(a−b)(c−d)=0. Если a=c,a=c,a=c, то AB=BC,AB=BC,AB=BC, а это не так. Значит, b=d.b=d.b=d. Тогда либо a=b,a=b,a=b, либо c=b.c=b.c=b. Если a=b,a=b,a=b, то AC=BC=1,AC=BC=1,AC=BC=1, что противоречит неравенству треугольника. Значит, c=bc=bc=b и, стало быть, AC=AB=3.AC=AB=3.AC=AB=3.