Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением (7−32tg4π−7+32ctg4π)2.
Ответ:3
Решение
(7−32tg4π−7+32ctg4π)2=(443)2=3.
Задача 2МГУ
Бобёр доплывает от своей норы вниз по реке до осиновой рощи за три минуты. Подкрепившись, он плывёт обратно к своей норе, на что у него уходят четыре минуты. Во сколько раз собственная скорость бобра превышает скорость течения? (Собственную скорость бобра считать постоянной.)
Ответ:7
Решение
Пусть x — собственная скорость бобра, y — скорость течения. Тогда 3(x+y)=4(x−y), откуда x=7y.
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки K и L соответственно. Известно, что AB=BC=1, что площади треугольников AKC и BCL равны и что около четырёхугольника AKML, где M — точка пересечения отрезков BL и CK, можно описать окружность. Найдите все возможные значения AC.
Ответ:AC=1
Решение
Так как около AKML можно описать окружность, ∠MLC=∠MKA, значит ∠BCA=∠BAC и △BCL∼△CAK,CABC=AKCL. Из равенства площадей SAKC=SBCL:21BC⋅CLsinC=21CA⋅AKsinA,BC⋅CL=CA⋅AK⟹CABC=CLAK. Отсюда AKCL=CLAK,AK=CL, поэтому BC=CA=AK, т.е. AC=BC=1.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение ,(3+2x−x2−3−2x−x2)×,(a−x2−3−2x−x2)×,(a−x2−3+2x−x2)=0, имеет ровно одно решение.
Ответ:a∈[0,1)∪{3}∪(5,+∞)
Решение
Заметим, что 3±2x−x2=22−(x∓1)2. Стало быть, графики функций 3+2x−x2 и 3−2x−x2 — верхние половины окружностей радиуса 2 с центрами в точках (1,0) и (−1,0) соответственно. График же функции a−x2 — верхняя половина окружности радиуса a с центром в точке (0,0). Первые две полуокружности имеют одну общую точку (0,3). При этом ОДЗ x является пересечением отрезков [−1,1] и [−a,a]. Соответственно, при a<1 третья полуокружность первые две не пересекает и решение будет одно. При 1≤a≤5 третья полуокружность пересекает первые две в точках с абсциссами из отрезка [−1,1] и точки пересечения совпадают только при a=3. При a>5 третья полуокружность либо пересекает первые две в точках с абсциссами по модулю большими 1, либо не пересекает вообще. Стало быть, решение будет единственным при a∈[0,1)∪{3}∪(5,+∞).
Задача 7МГУ
Дан тетраэдр ABCD. Известно, что центр сферы, описанной около этого тетраэдра, лежит на AB, что плоскости ABC и ABD перпендикулярны и что AD=DC=CB. Найдите угол между прямыми AD и CB.
Ответ:60^\circ
Решение
Поскольку центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на AB, углы ACB и ADB — прямые. Далее, опустим перпендикуляры CK и CL на AB и BD соответственно. Тогда DL=LB, ибо DC=CB, следовательно, KL — серединный перпендикуляр к BD в плоскости ABD и, поскольку ∠ADB=90∘, точка K является серединой AB. Значит, AC=BC. Аналогично, AD=BD. Итак, AC=BC=AD=BD=CD,AB⊥CK,AB⊥DK,AK=BK=CK=DK. Пусть E — точка, симметричная точке C относительно K. Тогда AK⊥EK⊥DK и AK=EK=DK. Следовательно, треугольник ADE — равносторонний. При этом AE∥CB. Стало быть, искомый угол равен углу EAD и равен 60∘.
Так как около 
Заметим, что 
Поскольку центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на