ДВИ МГУ по математике — 2021, Поток 4

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением (2tg⁡π47−3−2ctg⁡π47+3)2.\left(\dfrac{2\tg\frac{\pi}{4}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-\dfrac{2\ctg\frac{\pi}{4}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\right)^{2}.
Задача 2МГУ
Бобёр доплывает от своей норы вниз по реке до осиновой рощи за три минуты. Подкрепившись, он плывёт обратно к своей норе, на что у него уходят четыре минуты. Во сколько раз собственная скорость бобра превышает скорость течения? (Собственную скорость бобра считать постоянной.)
Задача 3МГУ
Решите уравнение cos⁡4x+cos⁡2x+ctg⁡2x=0\cos 4x+\cos 2x+\ctg^2 x=0.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡2x+log⁡3x⩽log⁡23⋅log⁡x6.\log_{2}x+\log_{3}x\leqslant\log_{2}3\cdot\log_{x}6.
Задача 5МГУ
На сторонах ABAB и ACAC треугольника ABCABC отмечены точки KK и LL соответственно. Известно, что AB=BC=1AB=BC=1, что площади треугольников AKCAKC и BCLBCL равны и что около четырёхугольника AKMLAKML, где MM — точка пересечения отрезков BLBL и CKCK, можно описать окружность. Найдите все возможные значения ACAC.
Задача 6МГУ
Найдите все значения параметра a,a, при которых уравнение ,(3+2x−x2−3−2x−x2)×,(a−x2−3−2x−x2)×,(a−x2−3+2x−x2)=0,,\left(\sqrt{3+2x-x^2}-\sqrt{3-2x-x^2}\right)\times,\left(\sqrt{a-x^2}-\sqrt{3-2x-x^2}\right)\times,\left(\sqrt{a-x^2}-\sqrt{3+2x-x^2}\right)=0, имеет ровно одно решение.
Задача 7МГУ
Дан тетраэдр ABCDABCD. Известно, что центр сферы, описанной около этого тетраэдра, лежит на ABAB, что плоскости ABCABC и ABDABD перпендикулярны и что AD=DC=CBAD=DC=CB. Найдите угол между прямыми ADAD и CBCB.