ДВИ МГУ 2019, Поток 4 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее

\sqrt{2019 \cdot 2007 - 2006 \cdot 2020}

.

Задача 2МГУ

Найдите

a + b + c

, если известно, что

a + 3b = 1

,

b + 3c = 2

,

c + 3a = 5

.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

5\sin x + 7\cos 2x = 6

.

Задача 4МГУ

Решите неравенство

5^{\log_5^2 x} + 3x^{\log_5 x} < 20.

Задача 5МГУ

На гипотенузе

AB

прямоугольного треугольника

ABC

отмечены точки

D

и

E

таким образом, что

AD : DB = BE : EA = 1 : 7

. Найдите

AB

, если известно, что площадь треугольника

ABC

равна

56

, а тангенс угла

\angle DCE

равен

3

.

Задача 6МГУ

Найдите все пары вещественных чисел

(a, b)

, при которых неравенство

,5a(x+3)^4 + 6b(x-3)^4 \leqslant x^4 + 54x^2 + 81,

справедливо для всех вещественных

x.

Задача 7МГУ

Плоскость

\tau

проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанной около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости

\tau

. Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны

1,\ \sqrt{5},\ 5

.

Решение

Пусть

\tau_1

и

\tau_2

— две касательные к сфере плоскости, параллельные

\tau,

а

T_1, T_2

— точки касания. Центр сферы

O

— середина

T_1T_2.

Пусть

T=\tau\cap T_1T_2.

Шар

B_1

лежит между

\tau_1

и

\tau,

шар

B_2

— между

\tau_2

и

\tau.

Их диаметры не превосходят расстояний от

\tau

до

\tau_1

и

\tau_2;

равенство достигается, когда

TT_1

и

TT_2

— диаметры

B_1

и

B_2.

Значит искомое отношение равно

\dfrac{TT_1}{TT_2}=\dfrac{R+r}{R-r}=\dfrac{\dfrac{R}{r}+1}{\dfrac{R}{r}-1},

где

R

— радиус сферы,

r

— расстояние от

O

до

\tau.

Пусть

A,B,C

— вершины, через которые проходит

\tau, D

— четвёртая вершина тетраэдра,

AD=a, BD=b, CD=c.

Объём тетраэдра

ABCD=\dfrac13\cdot 2r\cdot S(\triangle ABC)=\dfrac16 abc,

S(\triangle ABC)=\sqrt{S(\triangle ABD)^2+S(\triangle BCD)^2+S(\triangle ACD)^2}=\tfrac12\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2},

r=\dfrac{abc}{4S(\triangle ABC)}=\dfrac{1}{2\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}},\qquad R=OD=\tfrac12\sqrt{a^2+b^2+c^2},

\dfrac{R}{r}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{\tfrac{1}{a^2}+\tfrac{1}{b^2}+\tfrac{1}{c^2}}=\sqrt{1+5+25}\cdot\sqrt{1+\tfrac15+\tfrac{1}{25}}=\dfrac{31}{5},

\dfrac{TT_1}{TT_2}=\dfrac{\tfrac{31}{5}+1}{\tfrac{31}{5}-1}=\dfrac{36}{26}=\dfrac{18}{13}.

Задача 8МГУ

Найдите все

x,y

из интервала

(-\pi,\pi)

, удовлетворяющие системе уравнений

\begin{cases} 36\sqrt{5}\,\cos x + 9\cos y + 4\sqrt{10}\,\cos\dfrac{x+y}{2} = 12\sqrt{5} \\ 9\cos x\cos y + 4\sqrt{10}\,\cos x\cos\dfrac{x+y}{2} + \sqrt{2}\,\cos y\cos\dfrac{x+y}{2} = \dfrac{4\sqrt{5}}{3} \end{cases}