ДВИ МГУ 2017, Поток 4 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Какое число больше:

\sqrt{\dfrac{8}{9}+7+\dfrac{9}{8}}

или

3

?

Задача 2МГУ

Известно, что

a+b+c=7

и

a^2+b^2+c^2=19

. Найдите

ab+bc+ac

.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

\cos 8x - \cos 9x = \sin x.

Решение

\cos 8x - \cos 9x = \sin x.

По формуле разности косинусов

\cos 8x - \cos 9x = 2\sin\dfrac{17x}{2}\sin\dfrac{x}{2},

а

\sin x = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}:

2\sin\dfrac{17x}{2}\sin\dfrac{x}{2} = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2},

2\sin\dfrac{x}{2}\left(\sin\dfrac{17x}{2} - \cos\dfrac{x}{2}\right) = 0.

1)\ \sin\dfrac{x}{2} = 0 \;\Rightarrow\; \dfrac{x}{2} = \pi k \;\Rightarrow\; x = 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.

2)\ \sin\dfrac{17x}{2} = \cos\dfrac{x}{2} = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{x}{2}\right) \;\Rightarrow\; \dfrac{17x}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{x}{2} + 2\pi k \ \text{или}\ \dfrac{17x}{2} = \pi - \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{x}{2}\right) + 2\pi k.

\quad \dfrac{17x}{2} + \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \;\Rightarrow\; 9x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \;\Rightarrow\; x = \dfrac{\pi}{18} + \dfrac{2\pi k}{9} = \dfrac{(1+4k)\pi}{18}.

\quad \dfrac{17x}{2} - \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \;\Rightarrow\; 8x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \;\Rightarrow\; x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{\pi k}{4} = \dfrac{(1+4k)\pi}{16}.

Задача 4МГУ

Решите неравенство

x^{2}\log_{4}^{2}x+10\log_{3}^{2}x\leq x\log_{4}x\cdot\log_{3}x^{7}.

Задача 5МГУ

Через вершины

M

и

K

треугольника

KLM

проведена окружность, касающаяся прямых

ML

и

KL

. На этой окружности выбрана точка

S

(внутри треугольника), лежащая на расстоянии

\sqrt{2}

от прямой

MK

. Найдите расстояние от точки

S

до прямой

KL

, если известно, что

\angle MKS=\angle KLS

и что

\angle SKL=60^\circ

.

Задача 6МГУ

Борис с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вверх по реке до пункта B, причём в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Борис вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись

10

км, Борис заметил на берегу машущего ему рукой Анатолия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Борис уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Борис с Анатолием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Бориса, откуда те крикнули, что пункт B уже совсем близко и чтобы Борис нигде не задерживался. Доставив Анатолия в пункт C, Борис немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Бориса от момента встречи с ним и Анатолием, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, расстояние между пунктами B и C равно

2

км, скорости катеров постоянны, а Борис, действительно, нигде не задерживался.

Задача 7МГУ

Из вершины

S

на плоскость основания

KLM

пирамиды

KLMS

опущена высота

SH

. Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников

\triangle HLM,\ \triangle HKM,\ \triangle HKL

равны соответственно

\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{12}

, и что все три плоских угла при вершине

S

прямые.

Задача 8МГУ

Решите систему уравнений

\begin{cases}\dfrac{x}{\sin(x^2-y^2)} - y\cdot\ctg(x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{5\pi}{6}} \\ \dfrac{y}{\sin(x^2-y^2)} - x\cdot\ctg(x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\end{cases}