sin7x+sin6x=sinx. Перенесём sinx влево и сгруппируем sin7x−sinx:(sin7x−sinx)+sin6x=0. По формуле разности синусов sin7x−sinx=2cos4xsin3x, а sin6x=2sin3xcos3x:2cos4xsin3x+2sin3xcos3x=0,2sin3x(cos4x+cos3x)=0. Произведение равно нулю, если sin3x=0 или cos4x+cos3x=0.1)sin3x=0⇒3x=πk⇒x=3πk,k∈Z.2)cos4x+cos3x=2cos27xcos2x=0.cos2x=0⇒x=π+2πk=(2k+1)π, что уже содержится в серии x=3πk.cos27x=0⇒27x=2π+πk⇒x=7(2k+1)π,k∈Z.
Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямых AC и BC. На этой окружности выбрана точка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии 2 от прямой AB и на расстоянии 5 от прямой BC. Найдите угол ∠DBC, если известно, что ∠ABD=∠BCD.
Ответ:∠DBC=4π
Решение
Положим ∠ABD=∠BCD=α,∠DBC=β. Угол ∠DAB опирается на дугу DB, а BC — касательная, поэтому ∠DAB=∠DBC=β. Аналогично ∠CAD=∠ABD=α. Тогда по теореме синусов для △ABC:BCAB=sin(α+β)sin(π−2α−2β)=2cos(α+β). Треугольники ABD∼BCD (равенство соответствующих углов), откуда BCAB=DFDE=sinβsinα,гдеDE⊥AB,DF⊥BC.2cos(α+β)=sinβsinα⟹cosαsin2β−sinα(2sin2β+1)=0,tgα=2−cos2βsin2β⟹sinα=(2−cos2β)2+sin22βsin2β=9−8cos2βsin2β.DFDE=sinβsinα=9−8cos2β2cosβ. По условию DFDE=52:9−8cos2β4cos2β=52⟹cos2β=21.β=4π.
Задача 6МГУ
Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вниз по реке до пункта B, причём в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись 8 километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта B осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт C, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами B и C, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.
Ответ:4км
Решение
Оба катера выходят из A одновременно. Катер с друзьями идёт прямо в B, а Василий проскакивает B и удаляется на d=8 км ниже по течению, затем возвращается в точку C и снова идёт в B. Пусть в момент встречи друзьям осталась доля f=31 пути до B. Так как оба катера приходят в B одновременно и Василий нигде не задерживался, баланс времён даёт расстояние от B до C:BC=d⋅1−ff.BC=8⋅1−3131=8⋅21=4 (км).
Задача 7МГУ
Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды ABCD опущена высота DH. Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников △HBC,△HAC,△HAB равны соответственно 92,31,94, и что все три плоских угла при вершине D прямые.
Ответ:943242
Решение
Обозначим DA=a,DB=b,DC=c. Рёбра DA,DB,DC попарно перпендикулярны, поэтому S(△DBC)=21bc,S(△DAC)=21ac,S(△DAB)=21ab. Так как DH⊥(ABC), точка H — ортогональная проекция D, и для прямого трёхгранного угла S(△HBC)=S(△ABC)S(△DBC)2,S(△HAC)=S(△ABC)S(△DAC)2,S(△HAB)=S(△ABC)S(△DAB)2. Складывая и используя теорему де Гюа S(△ABC)2=S(△DBC)2+S(△DAC)2+S(△DAB)2, получаем S(△HBC)+S(△HAC)+S(△HAB)=S(△ABC)=92+31+94=1. Отсюда S(△DBC)=S(△HBC)⋅S(△ABC)=92,S(△DAC)=31,S(△DAB)=94.21bc=92,21ac=31,21ab=94;abc=(ab)(bc)(ac)=892⋅31⋅94.V=6abc=6182438=943242.
Задача 8МГУ
Решите систему уравнений ⎩⎨⎧cos(x2−y2)x−y⋅tg(x2−y2)=2πcos(x2−y2)y−x⋅tg(x2−y2)=3π
Ответ:x=3223+2⋅π,y=323+22⋅π
Решение
Рассмотрим сумму и разность первого и второго уравнений: (x+y)(cos(x2−y2)1−tg(x2−y2))=2π+3π,(x−y)(cos(x2−y2)1+tg(x2−y2))=2π−3π. Перемножим эти два равенства: (x2−y2)(cos2(x2−y2)1−tg2(x2−y2))=2π−3π=6π, откуда, с учётом cos2t1−tg2t=1, получаем x2−y2=6π. Подставляя x2−y2=6π в исходную систему, получаем ⎩⎨⎧32x−31y=2π32y−31x=3π⟺⎩⎨⎧2x−y=23π2y−x=π Решая, находим x=3223+2⋅π,y=323+22⋅π. Остаётся заметить, что полученные значения удовлетворяют условию x2−y2=6π.
Положим 
Обозначим