ДВИ МГУ 2017, Поток 1 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Какое число больше:

\sqrt{\dfrac{6}{7}+7+\dfrac{7}{6}}

или

3

?

Задача 2МГУ

Известно, что

a+b+c=5

и

ab+bc+ac=4

. Найдите

a^2+b^2+c^2

.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

\sin 7x + \sin 6x = \sin x.

Задача 4МГУ

Решите неравенство

x^{2}\log_{7}^{2}x+3\log_{6}^{2}x\leq x\log_{7}x\cdot\log_{6}x^{4}.

Задача 5МГУ

Через вершины

A

и

B

треугольника

ABC

проведена окружность, касающаяся прямых

AC

и

BC

. На этой окружности выбрана точка

D

(внутри треугольника), лежащая на расстоянии

\sqrt{2}

от прямой

AB

и на расстоянии

\sqrt{5}

от прямой

BC

. Найдите угол

\angle DBC

, если известно, что

\angle ABD=\angle BCD

.

Решение

Положим

\angle ABD=\angle BCD=\alpha,\quad \angle DBC=\beta.

Угол

\angle DAB

опирается на дугу

DB,

а

BC

— касательная, поэтому

\angle DAB=\angle DBC=\beta.

Аналогично

\angle CAD=\angle ABD=\alpha.

Тогда по теореме синусов для

\triangle ABC:

\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sin(\pi-2\alpha-2\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}=2\cos(\alpha+\beta).

Треугольники

ABD \sim BCD

(равенство соответствующих углов), откуда

\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta},\quad \text{где } DE\perp AB,\; DF\perp BC.

2\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}\;\Longrightarrow\; \cos\alpha\,\sin 2\beta-\sin\alpha\,(2\sin^2\beta+1)=0,

\tg\alpha=\dfrac{\sin 2\beta}{2-\cos 2\beta}\;\Longrightarrow\; \sin\alpha=\dfrac{\sin 2\beta}{\sqrt{(2-\cos 2\beta)^2+\sin^2 2\beta}}=\dfrac{\sin 2\beta}{\sqrt{9-8\cos^2\beta}}.

\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{2\cos\beta}{\sqrt{9-8\cos^2\beta}}.

По условию

\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}: \quad \dfrac{4\cos^2\beta}{9-8\cos^2\beta}=\dfrac{2}{5} \Longrightarrow \cos^2\beta=\dfrac{1}{2}.

\beta=\dfrac{\pi}{4}.

Задача 6МГУ

Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вниз по реке до пункта B, причём в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись

8

километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта B осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт C, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами B и C, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Задача 7МГУ

Из вершины

D

на плоскость основания

ABC

пирамиды

ABCD

опущена высота

DH

. Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников

\triangle HBC,\ \triangle HAC,\ \triangle HAB

равны соответственно

\dfrac{2}{9},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{4}{9}

, и что все три плоских угла при вершине

D

прямые.

Решение

Обозначим

DA=a, DB=b, DC=c.

Рёбра

DA,DB,DC

попарно перпендикулярны, поэтому

S(\triangle DBC)=\tfrac12 bc, S(\triangle DAC)=\tfrac12 ac, S(\triangle DAB)=\tfrac12 ab.

Так как

DH\perp(ABC),

точка

H

— ортогональная проекция

D,

и для прямого трёхгранного угла

S(\triangle HBC)=\dfrac{S(\triangle DBC)^2}{S(\triangle ABC)},\quad S(\triangle HAC)=\dfrac{S(\triangle DAC)^2}{S(\triangle ABC)},\quad S(\triangle HAB)=\dfrac{S(\triangle DAB)^2}{S(\triangle ABC)}.

Складывая и используя теорему де Гюа

S(\triangle ABC)^2=S(\triangle DBC)^2+S(\triangle DAC)^2+S(\triangle DAB)^2,

получаем

S(\triangle HBC)+S(\triangle HAC)+S(\triangle HAB)=S(\triangle ABC)=\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{9}=1.

Отсюда

S(\triangle DBC)=\sqrt{S(\triangle HBC)\cdot S(\triangle ABC)}=\sqrt{\tfrac{2}{9}}, S(\triangle DAC)=\sqrt{\tfrac{1}{3}}, S(\triangle DAB)=\sqrt{\tfrac{4}{9}}.

\tfrac12 bc=\sqrt{\tfrac{2}{9}},\ \tfrac12 ac=\sqrt{\tfrac{1}{3}},\ \tfrac12 ab=\sqrt{\tfrac{4}{9}};\quad abc=\sqrt{(ab)(bc)(ac)}=\sqrt{8\sqrt{\tfrac{2}{9}\cdot\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{4}{9}}}.

V=\dfrac{abc}{6}=\dfrac{1}{6}\sqrt{8\sqrt{\tfrac{8}{243}}}=\dfrac{2\sqrt[4]{2}}{9\sqrt[4]{3}}.

Задача 8МГУ

Решите систему уравнений

\begin{cases}\dfrac{x}{\cos(x^2-y^2)} - y\cdot\tg(x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \\ \dfrac{y}{\cos(x^2-y^2)} - x\cdot\tg(x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{\pi}{3}}\end{cases}