ДВИ МГУ по математике — 2017, Поток 2

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4
Задача 1МГУ
Какое число больше: 78+7+87\sqrt{\dfrac{7}{8}+7+\dfrac{8}{7}} или 33?
Задача 2МГУ
Известно, что a+b+c=6a+b+c=6 и a2+b2+c2=16a^2+b^2+c^2=16. Найдите ab+bc+acab+bc+ac.
Задача 3МГУ
Решите уравнение cos⁡6x+cos⁡5x=sin⁡x.\cos 6x + \cos 5x = \sin x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство x2log⁡62x+6log⁡52x≤xlog⁡6x⋅log⁡5x5.x^{2}\log_{6}^{2}x+6\log_{5}^{2}x\leq x\log_{6}x\cdot\log_{5}x^{5}.
Задача 5МГУ
Через вершины KK и LL треугольника KLMKLM проведена окружность, касающаяся прямых KMKM и LMLM. На этой окружности выбрана точка SS (внутри треугольника), лежащая на расстоянии 11 от прямой KLKL. Найдите расстояние от точки SS до прямой LMLM, если известно, что ∠KLS=∠LMS\angle KLS=\angle LMS и что ∠SLM=45∘\angle SLM=45^\circ.
Задача 6МГУ
Анатолий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вверх по реке до пункта B, причём в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись 88 километров, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Анатолий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Анатолия, откуда те крикнули, что пункт B уже совсем близко и чтобы Анатолий нигде не задерживался. Доставив Бориса в пункт C, Анатолий немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Анатолия от момента встречи с ним и Борисом, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, расстояние между пунктами B и C равно 22 км, скорости катеров постоянны, а Анатолий, действительно, нигде не задерживался.
Задача 7МГУ
Из вершины SS на плоскость основания KLMKLM пирамиды KLMSKLMS опущена высота SHSH. Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников △HLM, △HKM, △HKL\triangle HLM,\ \triangle HKM,\ \triangle HKL равны соответственно 210, 310, 12\dfrac{2}{10},\ \dfrac{3}{10},\ \dfrac{1}{2}, и что все три плоских угла при вершине SS прямые.
Задача 8МГУ
Решите систему уравнений {xsin⁡(x2−y2)+y⋅ctg⁡(x2−y2)=2π3ysin⁡(x2−y2)+x⋅ctg⁡(x2−y2)=−π2\begin{cases}\dfrac{x}{\sin(x^2-y^2)} + y\cdot\ctg(x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{2\pi}{3}} \\ \dfrac{y}{\sin(x^2-y^2)} + x\cdot\ctg(x^2-y^2)=-\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\end{cases}