ДВИ МГУ 2017, Поток 3 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Какое число больше:

\sqrt{\dfrac{7}{9}+7+\dfrac{9}{7}}

или

3

?

Задача 2МГУ

Известно, что

a+b+c=4

и

ab+bc+ac=5

. Найдите

a^2+b^2+c^2

.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

\sin 8x - \sin 7x = \sin x.

Задача 4МГУ

Решите неравенство

x^{2}\log_{5}^{2}x+5\log_{4}^{2}x\leq x\log_{5}x\cdot\log_{4}x^{6}.

Задача 5МГУ

Через вершины

A

и

C

треугольника

ABC

проведена окружность, касающаяся прямых

AB

и

BC

. На этой окружности выбрана точка

D

(внутри треугольника), лежащая на расстоянии

1

от прямой

AC

и на расстоянии

\sqrt{7}

от прямой

AB

. Найдите угол

\angle DAB

, если известно, что

\angle CAD=\angle ABD

.

Задача 6МГУ

Григорий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вниз по реке до пункта B, причём в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Григорий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись

6

километров, Григорий заметил на берегу машущего ему рукой Василия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Григорий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Григорий с Василием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Григория, откуда те крикнули, что им до пункта B осталась четверть пути и чтобы Григорий нигде не задерживался. Доставив Василия в пункт C, Григорий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами B и C, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, скорости катеров постоянны, а Григорий, действительно, нигде не задерживался.

Задача 7МГУ

Из вершины

D

на плоскость основания

ABC

пирамиды

ABCD

опущена высота

DH

. Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников

\triangle HBC,\ \triangle HAC,\ \triangle HAB

равны соответственно

\dfrac{2}{11},\ \dfrac{4}{11},\ \dfrac{5}{11}

, и что все три плоских угла при вершине

D

прямые.

Решение

Обозначим

DA=a, DB=b, DC=c.

Рёбра

DA,DB,DC

попарно перпендикулярны, поэтому

S(\triangle DBC)=\tfrac12 bc, S(\triangle DAC)=\tfrac12 ac, S(\triangle DAB)=\tfrac12 ab.

Так как

DH\perp(ABC),

точка

H

— ортогональная проекция

D,

и для прямого трёхгранного угла

S(\triangle HBC)=\dfrac{S(\triangle DBC)^2}{S(\triangle ABC)},\quad S(\triangle HAC)=\dfrac{S(\triangle DAC)^2}{S(\triangle ABC)},\quad S(\triangle HAB)=\dfrac{S(\triangle DAB)^2}{S(\triangle ABC)}.

Складывая и используя теорему де Гюа

S(\triangle ABC)^2=S(\triangle DBC)^2+S(\triangle DAC)^2+S(\triangle DAB)^2,

получаем

S(\triangle HBC)+S(\triangle HAC)+S(\triangle HAB)=S(\triangle ABC)=\dfrac{2}{11}+\dfrac{4}{11}+\dfrac{5}{11}=1.

Отсюда

S(\triangle DBC)=\sqrt{\tfrac{2}{11}}, S(\triangle DAC)=\sqrt{\tfrac{4}{11}}, S(\triangle DAB)=\sqrt{\tfrac{5}{11}}.

abc=\sqrt{(ab)(bc)(ac)}=\sqrt{8\sqrt{\tfrac{2}{11}\cdot\tfrac{4}{11}\cdot\tfrac{5}{11}}}=\sqrt{8\sqrt{\tfrac{40}{1331}}}.

V=\dfrac{abc}{6}=\dfrac{1}{6}\sqrt{8\sqrt{\tfrac{40}{1331}}}=\dfrac{2\sqrt[4]{110}}{33}.

Задача 8МГУ

Решите систему уравнений

\begin{cases}\dfrac{x}{\cos(x^2-y^2)} + y\cdot\tg(x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \\ \dfrac{y}{\cos(x^2-y^2)} + x\cdot\tg(x^2-y^2)=-\sqrt{\dfrac{\pi}{6}}\end{cases}