sin8x−sin7x=sinx. По формуле разности синусов sin8x−sin7x=2cos215xsin2x, а sinx=2sin2xcos2x:2cos215xsin2x=2sin2xcos2x,2sin2x(cos215x−cos2x)=0.1)sin2x=0⇒x=2πk, что содержится в серии x=4πk.2)cos215x−cos2x=−2sin4xsin27x=0.sin4x=0⇒4x=πk⇒x=4πk,k∈Z.sin27x=0⇒27x=πk⇒x=72kπ,k∈Z.
Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямых AB и BC. На этой окружности выбрана точка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии 1 от прямой AC и на расстоянии 7 от прямой AB. Найдите угол ∠DAB, если известно, что ∠CAD=∠ABD.
Ответ:∠DAB=3π
Решение
Положим ∠CAD=∠ABD=α,∠DAB=β. Угол ∠DCA опирается на дугу DA, а AB — касательная, поэтому ∠DCA=∠DAB=β. Аналогично ∠BCD=∠CAD=α. По теореме синусов для △ABC:ABAC=sin(α+β)sin(π−2α−2β)=2cos(α+β). Треугольники ACD∼ABD, откуда ABAC=dABdAC=sinβsinα, где dAC,dAB — расстояния от D до прямых AC и AB.2cos(α+β)=sinβsinα⟹dABdAC=9−8cos2β2cosβ. По условию dABdAC=71:9−8cos2β4cos2β=71⟹28cos2β=9−8cos2β,cos2β=41,cosβ=21,β=3π.
Задача 6МГУ
Григорий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вниз по реке до пункта B, причём в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Григорий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись 6 километров, Григорий заметил на берегу машущего ему рукой Василия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Григорий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Григорий с Василием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Григория, откуда те крикнули, что им до пункта B осталась четверть пути и чтобы Григорий нигде не задерживался. Доставив Василия в пункт C, Григорий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами B и C, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, скорости катеров постоянны, а Григорий, действительно, нигде не задерживался.
Ответ:2км
Решение
Оба катера выходят из A одновременно. Катер с друзьями идёт прямо в B, а Григорий проскакивает B на d=6 км, затем возвращается в C и снова идёт в B. Пусть в момент встречи друзьям осталась доля f=41 пути до B. Из условия одновременного прихода обоих катеров в B:BC=d⋅1−ff.BC=6⋅1−4141=6⋅31=2 (км).
Задача 7МГУ
Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды ABCD опущена высота DH. Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников △HBC,△HAC,△HAB равны соответственно 112,114,115, и что все три плоских угла при вершине D прямые.
Ответ:3324110
Решение
Обозначим DA=a,DB=b,DC=c. Рёбра DA,DB,DC попарно перпендикулярны, поэтому S(△DBC)=21bc,S(△DAC)=21ac,S(△DAB)=21ab. Так как DH⊥(ABC), точка H — ортогональная проекция D, и для прямого трёхгранного угла S(△HBC)=S(△ABC)S(△DBC)2,S(△HAC)=S(△ABC)S(△DAC)2,S(△HAB)=S(△ABC)S(△DAB)2. Складывая и используя теорему де Гюа S(△ABC)2=S(△DBC)2+S(△DAC)2+S(△DAB)2, получаем S(△HBC)+S(△HAC)+S(△HAB)=S(△ABC)=112+114+115=1. Отсюда S(△DBC)=112,S(△DAC)=114,S(△DAB)=115.abc=(ab)(bc)(ac)=8112⋅114⋅115=8133140.V=6abc=618133140=3324110.
Задача 8МГУ
Решите систему уравнений ⎩⎨⎧cos(x2−y2)x+y⋅tg(x2−y2)=2πcos(x2−y2)y+x⋅tg(x2−y2)=−6π
Ответ:x=232⋅π,y=−656⋅π
Решение
Рассмотрим сумму и разность первого и второго уравнений: (x+y)(cos(x2−y2)1+tg(x2−y2))=2π−6π,(x−y)(cos(x2−y2)1−tg(x2−y2))=2π+6π. Перемножим эти два равенства: (x2−y2)(cos2(x2−y2)1−tg2(x2−y2))=2π−6π=3π, откуда, с учётом cos2t1−tg2t=1, получаем x2−y2=3π. Подставляя x2−y2=3π в исходную систему, получаем ⎩⎨⎧2x+3y=2π2y+3x=−6π Решая эту линейную систему, находим x=232⋅π,y=−656⋅π. Полученные значения удовлетворяют условию x2−y2=3π.
Положим 
Обозначим