ДВИ МГУ 2016, Поток 4 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите

f\left(\dfrac{5}{3}\right)

, если

f(x)=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{4}{9}

.

Задача 2МГУ

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения

,x^2+ax+10=0,

равна

3.

Найдите все возможные значения

a.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

2\cos 2x + 3\sin 2x + 4\cos^2 x = -1.

Задача 4МГУ

Решите неравенство

\log_{1+\log_x 7}\left(1+\log_7^{2}x\right)\leq 1.

Задача 5МГУ

Две окружности касаются внутренним образом в точке

P

. Хорда

QR

внешней окружности касается внутренней окружности в точке

S

. Прямая

PS

пересекает внешнюю окружность в точках

P

и

T

. Найдите

QT

, если известно, что

PQ\parallel RT

, площадь четырёхугольника

PQTR

равна

5\sqrt{5}

, а радиусы окружностей относятся как

7:10

.

Задача 6МГУ

Ровно в

13{:}00

из пункта

A

в пункт

\text{Б}

выехал мотоциклист. Проехав

\frac{1}{4}

пути, наблюдательный мотоциклист заметил, что мимо него в сторону пункта

A

прошёл некий пешеход. В тот самый момент, когда мотоциклист прибыл в пункт

\text{Б}

, из пункта

\text{Б}

в пункт

A

выехал автомобиль. Когда до пункта

A

оставалось

\frac{1}{5}

пути, не менее наблюдательный водитель автомобиля заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько приехал автомобиль в пункт

A

, если известно, что пешеход прибыл в пункт

A

ровно в

17{:}00

? Скорости пешехода, мотоцикла и автомобиля считать постоянными.

Задача 7МГУ

В основании правильной пирамиды с вершиной

V

лежит шестиугольник

KLMNOP

со стороной

10

. Плоскость

\pi

параллельна ребру

LM

, перпендикулярна плоскости

OPV

и пересекает ребро

MN

в точке

T

, так что

MT:TN=1:4

. Кроме того, прямые, по которым

\pi

пересекает плоскость

MNV

и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью

\pi

от грани

NOV

.

Задача 8МГУ

Найдите наименьшее значение выражения

\sqrt{65+\log_{a}^{2}\cos ax-\log_{a}\cos^{8} ax}+

\sqrt{10+\log_{a}^{2}\sin ax+\log_{a}\sin^{2} ax}+

\sqrt{125+\log_{a}^{2}\operatorname{tg} ax-\log_{a}\operatorname{tg}^{10} ax}

и все пары

(a,x)

, при которых оно достигается.

Решение

Данное выражение можно переписать как

\sqrt{7^{2}+\left(4-\log_{a}\cos ax\right)^{2}}+\sqrt{3^{2}+\left(1+\log_{a}\sin ax\right)^{2}}+\sqrt{10^{2}+\left(5-\log_{a}\operatorname{tg} ax\right)^{2}}.

Заметим, что

(4-\log_{a}\cos ax)+(1+\log_{a}\sin ax)+(5-\log_{a}\operatorname{tg} ax)=10,

тогда как

7+3+10=20.

Следовательно, исходное выражение не меньше, чем расстояние от точки

(0,0)

до точки

(20,10),

причём оно достигается тогда и только тогда, когда все три точки

\left(7,\ 4-\log_{a}\cos ax\right),\quad \left(3,\ 1+\log_{a}\sin ax\right),\quad \left(10,\ 5-\log_{a}\operatorname{tg} ax\right)

лежат на этой прямой, то есть тогда и только тогда, когда

\begin{cases} 4-\log_{a}\cos ax=\dfrac{7}{2} \\[4pt] 1+\log_{a}\sin ax=\dfrac{3}{2} \\[4pt] 5-\log_{a}\operatorname{tg} ax=5 \end{cases}

что равносильно условию

\sin ax=\cos ax=a^{\frac{1}{2}}.

В силу основного тригонометрического тождества это возможно только при

a=\dfrac{1}{2}.

В этом случае минимум достигается при

x=\dfrac{\pi}{2}+4k\pi, k\in\mathbb{Z},

и равен

\sqrt{20^{2}+10^{2}}=10\sqrt{5}.