ДВИ МГУ 2016, Поток 1 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите

f\left(\dfrac{2}{7}\right)

, если

f(x)=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{3}{7}

.

Задача 2МГУ

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения

,x^2+ax-6=0,

равна

5.

Найдите все возможные значения

a.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

2\cos^2 x + 3\sin 2x = 4 + 3\cos 2x.

Задача 4МГУ

Решите неравенство

\log_{1-\log_3 x}\left(1+\log_x^{2}3\right)\leq 1.

Задача 5МГУ

Две окружности касаются внутренним образом в точке

T

. Хорда

AB

внешней окружности касается внутренней окружности в точке

S

. Прямая

TS

пересекает внешнюю окружность в точках

T

и

C

. Найдите площадь четырёхугольника

TACB

, если известно, что

CB=BT=3

, а радиусы окружностей относятся как

5:8

.

Задача 6МГУ

Ровно в

9{:}00

из пункта

A

в пункт

\text{Б}

выехал автомобиль. Проехав

\frac{2}{3}

пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в сторону пункта

A

проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт

\text{Б}

, из пункта

\text{Б}

в пункт

A

выехал автобус. Когда до пункта

A

оставалось

\frac{2}{5}

пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт

A

, если известно, что автобус прибыл в пункт

A

ровно в

11{:}00

? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

Задача 7МГУ

В основании правильной пирамиды с вершиной

S

лежит шестиугольник

ABCDEF

со стороной

14

. Плоскость

\pi

параллельна ребру

AB

, перпендикулярна плоскости

DES

и пересекает ребро

BC

в точке

K

, так что

BK:KC=3:4

. Кроме того, прямые, по которым

\pi

пересекает плоскости

BCS

и

AFS

, параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью

\pi

от грани

CDS

.

Решение

Обозначим через

P

точку пересечения

\pi

с отрезком

AF.

Точки

K

и

P

— вершины сечения. Многоугольник

M=KP\ldots

симметричен относительно плоскости, проходящей через середины рёбер

AB

и

ED,

поэтому углы при вершинах

K

и

P

равны; по условию параллельности они равны

90^\circ.

Значит, прямая

LMS

-сечения отсекает от грани

CDS

искомый треугольник

LMS,

где

L,M

— точки пересечения

\pi

с рёбрами

CS, DS

соответственно. Спроецируем на плоскость основания:

L\to L', M\to M', S\to S'.

Пусть

X=KP\cap CD, Y=KP\cap AD.

Пусть

a

— сторона основания,

KC=b.

По условию

a=14,\quad b=14\cdot\dfrac{4}{7}=8.

CL'=\dfrac{b}{2},\qquad S'L'=a-\dfrac{b}{2},\qquad YX=a+b.

Из подобия

\triangle XM'Y

и

\triangle L'M'S':\quad \dfrac{YM'}{S'M'}=\dfrac{YX}{S'L'}=\dfrac{a+b}{a-\frac{b}{2}},\qquad YM'=b+S'M',

\Rightarrow\ S'M'=\dfrac{2a-b}{3}.

S_{L'M'S'}=\dfrac12\,S'L'\cdot S'M'\cdot\sin 60^\circ=\dfrac{(2a-b)^2\sqrt{3}}{24}.

Угол наклона

\pi

к основанию:

\sin\angle HQR=\sqrt{\tfrac13},\quad \cos\angle HQR=\sqrt{\tfrac23}.

S_{LMS}=\dfrac{S_{L'M'S'}}{\cos\angle HQR}=\dfrac{(2a-b)^2\sqrt{3}}{24}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{(2a-b)^2\sqrt{2}}{16}.

S_{LMS}=\dfrac{(2\cdot 14-8)^2\sqrt{2}}{16}=\dfrac{20^2\sqrt{2}}{16}=25\sqrt{2}.

Задача 8МГУ

Найдите наименьшее значение выражения

\sqrt{106+\log_{a}^{2}\cos ax+\log_{a}\cos^{10} ax}+

\sqrt{58+\log_{a}^{2}\sin ax-\log_{a}\sin^{6} ax}+

\sqrt{5+\log_{a}^{2}\operatorname{tg} ax+\log_{a}\operatorname{tg}^{2} ax}

и все пары

(a,x)

, при которых оно достигается.

Решение

Данное выражение можно переписать как

\sqrt{9^{2}+\left(5+\log_{a}\cos ax\right)^{2}}+\sqrt{7^{2}+\left(3-\log_{a}\sin ax\right)^{2}}+\sqrt{2^{2}+\left(1+\log_{a}\operatorname{tg} ax\right)^{2}}.

Заметим, что

(5+\log_{a}\cos ax)+(3-\log_{a}\sin ax)+(1+\log_{a}\operatorname{tg} ax)=9,

тогда как

9+7+2=18.

Следовательно, исходное выражение не меньше, чем расстояние от точки

(0,0)

до точки

(18,9),

причём оно достигается тогда и только тогда, когда все три точки

\left(9,\ 5+\log_{a}\cos ax\right),\quad \left(7,\ 3-\log_{a}\sin ax\right),\quad \left(2,\ 1+\log_{a}\operatorname{tg} ax\right)

лежат на этой прямой, то есть тогда и только тогда, когда

\begin{cases} 5+\log_{a}\cos ax=\dfrac{9}{2} \\[4pt] 3-\log_{a}\sin ax=\dfrac{7}{2} \\[4pt] 1+\log_{a}\operatorname{tg} ax=1 \end{cases}

что равносильно условию

\sin ax=\cos ax=a^{-\frac{1}{2}}.

В силу основного тригонометрического тождества это возможно только при

a=2.

В этом случае минимум достигается при

x=\dfrac{\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z},

и равен

\sqrt{18^{2}+9^{2}}=9\sqrt{5}.