ДВИ МГУ по математике — 2016, Поток 2

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4
Задача 1МГУ
Найдите f(73)f\left(\dfrac{7}{3}\right), если f(x)=xx−1+53f(x)=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{5}{3}.
Задача 2МГУ
Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения ,x2+ax−10=0,,x^2+ax-10=0, равна 7.7. Найдите все возможные значения a.a.
Задача 3МГУ
Решите уравнение 8cos⁡2x+sin⁡2x=3+2cos⁡2x.8\cos^2 x + \sin 2x = 3 + 2\cos 2x.
Задача 4МГУ
Решите неравенство log⁡1−log⁡x2(1+log⁡22x)≤1.\log_{1-\log_x 2}\left(1+\log_2^{2}x\right)\leq 1.
Задача 5МГУ
Две окружности касаются внутренним образом в точке AA. Хорда BCBC внешней окружности касается внутренней окружности в точке DD. Прямая ADAD пересекает внешнюю окружность в точках AA и EE. Найдите BEBE, если известно, что EC=CAEC=CA, площадь четырёхугольника ABECABEC равна 333\sqrt{3}, а радиусы окружностей относятся как 2:32:3.
Задача 6МГУ
Ровно в 10:0010{:}00 из пункта AA в пункт Б\text{Б} выехала маршрутка. Проехав 13\frac{1}{3} пути, наблюдательный водитель маршрутки заметил, что мимо него в сторону пункта AA проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда маршрутка прибыла в пункт Б\text{Б}, из пункта Б\text{Б} в пункт AA выехал грузовик. Когда до пункта AA оставалось 16\frac{1}{6} пути, не менее наблюдательный водитель грузовика заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приехал грузовик в пункт AA, если известно, что велосипедист прибыл в пункт AA ровно в 15:0015{:}00? Скорости велосипедиста, маршрутки и грузовика считать постоянными.
Задача 7МГУ
В основании правильной пирамиды с вершиной VV лежит шестиугольник KLMNOPKLMNOP со стороной 55. Плоскость π\pi параллельна ребру KLKL, перпендикулярна плоскости NOVNOV и пересекает ребро LMLM в точке TT, так что LT:TM=3:2LT:TM=3:2. Кроме того, прямые, по которым π\pi пересекает плоскость LMVLMV и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью π\pi от грани MNVMNV.
Задача 8МГУ
Найдите наименьшее значение выражения 13+log⁡a2cos⁡xa+log⁡acos⁡4xa+\sqrt{13+\log_{a}^{2}\cos\dfrac{x}{a}+\log_{a}\cos^{4}\dfrac{x}{a}}+ 97+log⁡a2sin⁡xa−log⁡asin⁡8xa+\sqrt{97+\log_{a}^{2}\sin\dfrac{x}{a}-\log_{a}\sin^{8}\dfrac{x}{a}}+ 20+log⁡a2tg⁡xa+log⁡atg⁡4xa\sqrt{20+\log_{a}^{2}\operatorname{tg}\dfrac{x}{a}+\log_{a}\operatorname{tg}^{4}\dfrac{x}{a}} и все пары (a,x)(a,x), при которых оно достигается.