ДВИ МГУ 2016, Поток 3 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите

f\left(\dfrac{3}{5}\right)

, если

f(x)=\dfrac{x}{1-x}-\dfrac{5}{7}

.

Задача 2МГУ

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения

,x^2+ax+6=0,

равна

1.

Найдите все возможные значения

a.

Задача 3МГУ

Решите уравнение

6\cos^2 x + 3\cos 2x = 5\sin 2x - 2.

Задача 4МГУ

Решите неравенство

\log_{1+\log_5 x}\left(1+\log_x^{2}5\right)\leq 1.

Задача 5МГУ

Две окружности касаются внутренним образом в точке

S

. Хорда

AB

внешней окружности касается внутренней окружности в точке

T

. Прямая

ST

пересекает внешнюю окружность в точках

S

и

C

. Найдите площадь четырёхугольника

SACB

, если известно, что

CA=5

,

CB\parallel AS

, а радиусы окружностей относятся как

11:16

.

Задача 6МГУ

Ровно в

11{:}00

из пункта

A

в пункт

\text{Б}

выехал велосипедист. Проехав

\frac{2}{5}

пути, наблюдательный велосипедист заметил, что мимо него в сторону пункта

A

прошёл некий пешеход. В тот самый момент, когда велосипедист прибыл в пункт

\text{Б}

, из пункта

\text{Б}

в пункт

A

выехал мотоциклист. Когда до пункта

A

оставалось

\frac{2}{7}

пути, не менее наблюдательный мотоциклист заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько придёт пешеход в пункт

A

, если известно, что мотоциклист прибыл в пункт

A

ровно в

12{:}00

? Скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста считать постоянными.

Задача 7МГУ

В основании правильной пирамиды с вершиной

S

лежит шестиугольник

ABCDEF

со стороной

20

. Плоскость

\pi

параллельна ребру

BC

, перпендикулярна плоскости

EFS

и пересекает ребро

CD

в точке

K

, так что

CK:KD=2:3

. Кроме того, прямые, по которым

\pi

пересекает плоскости

CDS

и

ABS

, параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью

\pi

от грани

DES

.

Задача 8МГУ

Найдите наименьшее значение выражения

\sqrt{157+\log_{a}^{2}\cos\dfrac{x}{a}-\log_{a}\cos^{12}\dfrac{x}{a}}+

\sqrt{29+\log_{a}^{2}\sin\dfrac{x}{a}+\log_{a}\sin^{4}\dfrac{x}{a}}+

\sqrt{47+\log_{a}^{2}\operatorname{tg}\dfrac{x}{a}-\log_{a}\operatorname{tg}^{6}\dfrac{x}{a}}

и все пары

(a,x)

, при которых оно достигается.

Решение

В третьем подкоренном выражении в оригинальном условии напечатано

47

; это опечатка: для совпадения с официальным ответом

11\sqrt{5}

под третьим корнем должно быть

45

(катет

6

). Ниже решение для исправленного условия. Данное выражение можно переписать как

\sqrt{11^{2}+\left(6-\log_{a}\cos\dfrac{x}{a}\right)^{2}}+\sqrt{5^{2}+\left(2+\log_{a}\sin\dfrac{x}{a}\right)^{2}}+\sqrt{6^{2}+\left(3-\log_{a}\operatorname{tg}\dfrac{x}{a}\right)^{2}}.

Заметим, что

\left(6-\log_{a}\cos\dfrac{x}{a}\right)+\left(2+\log_{a}\sin\dfrac{x}{a}\right)+\left(3-\log_{a}\operatorname{tg}\dfrac{x}{a}\right)=11,

тогда как

11+5+6=22.

Следовательно, исходное выражение не меньше, чем расстояние от точки

(0,0)

до точки

(22,11),

причём оно достигается тогда и только тогда, когда все три точки

\left(11,\ 6-\log_{a}\cos\dfrac{x}{a}\right),\quad \left(5,\ 2+\log_{a}\sin\dfrac{x}{a}\right),\quad \left(6,\ 3-\log_{a}\operatorname{tg}\dfrac{x}{a}\right)

лежат на этой прямой, то есть тогда и только тогда, когда

\begin{cases} 6-\log_{a}\cos\dfrac{x}{a}=\dfrac{11}{2} \\[4pt] 2+\log_{a}\sin\dfrac{x}{a}=\dfrac{5}{2} \\[4pt] 3-\log_{a}\operatorname{tg}\dfrac{x}{a}=3 \end{cases}

что равносильно условию

\sin\dfrac{x}{a}=\cos\dfrac{x}{a}=a^{\frac{1}{2}}.

В силу основного тригонометрического тождества это возможно только при

a=\dfrac{1}{2}.

В этом случае минимум достигается при

x=\dfrac{\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z},

и равен

\sqrt{22^{2}+11^{2}}=11\sqrt{5}.