ДВИ МГУ 2015, Поток 4 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите

f(3)

, если

f(x)=\dfrac{x}{7}+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{21}

.

Задача 2МГУ

Найдите сумму квадратов корней уравнения

x^2+10x+4=0

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\cos x-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,\cos 2x-\sin x\geqslant 0.

Решение

Преобразуем, используя

\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x):

(\cos x-\sin x)-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\geqslant 0,

(\cos x-\sin x)\bigl(1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x+\sin x)\bigr)\geqslant 0.

Применим

\cos x-\sin x=\sqrt2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right),\quad \cos x+\sin x=\sqrt2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right):

Множитель

\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\sqrt2=\dfrac{2}{\sqrt3},

поэтому

\sqrt2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\left(1-\dfrac{2}{\sqrt3}\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\right)\geqslant 0,

\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\left(1-\dfrac{2}{\sqrt3}\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\right)\geqslant 0.

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака. Второй множитель неотрицателен

\Leftrightarrow \cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\leqslant\tfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow x\in\left[\tfrac{5\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{19\pi}{12}+2\pi n\right].

Решая систему неравенств на промежутке длины

2\pi

и снося ответ на все периоды, получаем ответ.

x\in\left[-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{12}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{5\pi}{12}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\log_{\sqrt{x+1}} |5x-1| = 4\log_{|5x-1|} \sqrt{x+1}

.

Задача 5МГУ

Окружность касается середины стороны

AC

треугольника

ABC

и пересекает сторону

BC

в точках

K

и

L

, так что

BK=KL=LC

. Чему может равняться радиус окружности, если

\angle ABC=45^\circ

и

AB=1

?

Задача 6МГУ

Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав три четверти пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрёл обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий. На каком расстоянии от вершины горы он встретит Григория, если длина трассы равна

2100

метров, а Василий закончит спуск ровно тогда, когда Григорий доберётся до вершины горы? Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.

Задача 7МГУ

В правильную треугольную призму с основаниями

ABC

,

A'B'C'

и рёбрами

AA'

,

BB'

,

CC'

вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми

A'K

и

B'L

равно

\sqrt{21}

, где

K

и

L

— точки, лежащие на

AB

и

BC

соответственно, и

AK:KB=BL:LC=2:3

.

Задача 8МГУ

Найдите все пары

(x,y)

, при которых достигается минимум выражения

\dfrac{2-\sin x}{2+\cos 2x}+\dfrac{2+\cos 2x}{(y+1)^{2}}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2\sqrt{y}+1}+\dfrac{2\sqrt{y}+1}{2-\sin x}.