Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ДВИ МГУ по математике — 2015, Поток 4

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4
Задача 1МГУ
Найдите f(3)f(3)f(3), если f(x)=x7+2x−221f(x)=\dfrac{x}{7}+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{21}f(x)=7x​+x2​−212​.
Ответ:1

Решение

f(3)=37+23−221=921+1421−221=2121=1.f(3)=\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{21}=\dfrac{9}{21}+\dfrac{14}{21}-\dfrac{2}{21}=\dfrac{21}{21}=1.f(3)=73​+32​−212​=219​+2114​−212​=2121​=1.
Задача 2МГУ
Найдите сумму квадратов корней уравнения x2+10x+4=0x^2+10x+4=0x2+10x+4=0.
Ответ:92

Решение

По теореме Виета x1+x2=−10,x1x2=4.x_1+x_2=-10, x_1 x_2=4.x1​+x2​=−10,x1​x2​=4. x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−10)2−2⋅4=100−8=92.x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=(-10)^2-2\cdot4=100-8=92.x12​+x22​=(x1​+x2​)2−2x1​x2​=(−10)2−2⋅4=100−8=92.
Задача 3МГУ
Решите неравенство cos⁡x−23 cos⁡2x−sin⁡x⩾0.\cos x-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,\cos 2x-\sin x\geqslant 0.cosx−32​​cos2x−sinx⩾0.
Ответ:x∈[−3π4+2πn, π12+2πn]∪[π4+2πn, 5π12+2πn], n∈Zx\in\left[-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{12}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{5\pi}{12}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}x∈[−43π​+2πn, 12π​+2πn]∪[4π​+2πn, 125π​+2πn], n∈Z

Решение

Преобразуем, используя cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x):\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x):cos2x=cos2x−sin2x=(cosx−sinx)(cosx+sinx): (cos⁡x−sin⁡x)−23 (cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)⩾0,(\cos x-\sin x)-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\geqslant 0,(cosx−sinx)−32​​(cosx−sinx)(cosx+sinx)⩾0, (cos⁡x−sin⁡x)(1−23 (cos⁡x+sin⁡x))⩾0.(\cos x-\sin x)\bigl(1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x+\sin x)\bigr)\geqslant 0.(cosx−sinx)(1−32​​(cosx+sinx))⩾0. Применим cos⁡x−sin⁡x=2cos⁡(x+π4),cos⁡x+sin⁡x=2cos⁡(x−π4):\cos x-\sin x=\sqrt2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right),\quad \cos x+\sin x=\sqrt2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right):cosx−sinx=2​cos(x+4π​),cosx+sinx=2​cos(x−4π​): Множитель 23⋅2=23,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\sqrt2=\dfrac{2}{\sqrt3},32​​⋅2​=3​2​, поэтому 2cos⁡ ⁣(x+π4)(1−23cos⁡ ⁣(x−π4))⩾0,\sqrt2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\left(1-\dfrac{2}{\sqrt3}\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\right)\geqslant 0,2​cos(x+4π​)(1−3​2​cos(x−4π​))⩾0, cos⁡ ⁣(x+π4)(1−23cos⁡ ⁣(x−π4))⩾0.\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\left(1-\dfrac{2}{\sqrt3}\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\right)\geqslant 0.cos(x+4π​)(1−3​2​cos(x−4π​))⩾0. Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака. Второй множитель неотрицателен ⇔cos⁡(x−π4)⩽32⇔x∈[5π12+2πn,19π12+2πn].\Leftrightarrow \cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\leqslant\tfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow x\in\left[\tfrac{5\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{19\pi}{12}+2\pi n\right].⇔cos(x−4π​)⩽23​​⇔x∈[125π​+2πn,1219π​+2πn]. Решая систему неравенств на промежутке длины 2π2\pi2π и снося ответ на все периоды, получаем ответ. x∈[−3π4+2πn, π12+2πn]∪[π4+2πn, 5π12+2πn], n∈Z.x\in\left[-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{12}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{5\pi}{12}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.x∈[−43π​+2πn, 12π​+2πn]∪[4π​+2πn, 125π​+2πn], n∈Z.
Задача 4МГУ
Решите уравнение log⁡x+1∣5x−1∣=4log⁡∣5x−1∣x+1\log_{\sqrt{x+1}} |5x-1| = 4\log_{|5x-1|} \sqrt{x+1}logx+1​​∣5x−1∣=4log∣5x−1∣​x+1​.
Ответ:x=−45, 12, −2+145x=-\dfrac{4}{5},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{-2+\sqrt{14}}{5}x=−54​, 21​, 5−2+14​​

Решение

ОДЗ: x+1>0,x+1≠1,∣5x−1∣≠1.x+1>0, x+1\neq 1, |5x-1|\neq 1.x+1>0,x+1=1,∣5x−1∣=1. Обозначим a=x+1,a2=x+1.a=\sqrt{x+1}, a^2=x+1.a=x+1​,a2=x+1. Пусть t=log⁡a∣5x−1∣.t=\log_a|5x-1|.t=loga​∣5x−1∣. Тогда уравнение t=4t⇒t2=4⇒∣5x−1∣=a2t=\dfrac{4}{t}\Rightarrow t^2=4\Rightarrow |5x-1|=a^2t=t4​⇒t2=4⇒∣5x−1∣=a2 или ∣5x−1∣=a−2.|5x-1|=a^{-2}.∣5x−1∣=a−2. 1) ∣5x−1∣=x+1: 5x−1=x+1⇒x=12;  5x−1=−(x+1)⇒x=0 (не подходит).1)\ |5x-1|=x+1:\ 5x-1=x+1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}; \ \ 5x-1=-(x+1)\Rightarrow x=0 \ (\text{не подходит}).1) ∣5x−1∣=x+1: 5x−1=x+1⇒x=21​;  5x−1=−(x+1)⇒x=0 (не подходит). 2) ∣5x−1∣=1x+1⇔(5x−1)(x+1)=±1.2)\ |5x-1|=\dfrac{1}{x+1}\Leftrightarrow (5x-1)(x+1)=\pm 1.2) ∣5x−1∣=x+11​⇔(5x−1)(x+1)=±1. (5x−1)(x+1)=1:5x2+4x−2=0⇒x=−2+145((5x-1)(x+1)=1: 5x^2+4x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{5} ((5x−1)(x+1)=1:5x2+4x−2=0⇒x=5−2+14​​( положительный корень).    (5x−1)(x+1)=−1: 5x2+4x=0⇒x=−45 (x=0 не подходит).\;\ (5x-1)(x+1)=-1:\ 5x^2+4x=0\Rightarrow x=-\dfrac{4}{5} \ (x=0 \text{ не подходит}). (5x−1)(x+1)=−1: 5x2+4x=0⇒x=−54​ (x=0 не подходит).
Задача 5МГУ
Окружность касается середины стороны ACACAC треугольника ABCABCABC и пересекает сторону BCBCBC в точках KKK и LLL, так что BK=KL=LCBK=KL=LCBK=KL=LC. Чему может равняться радиус окружности, если ∠ABC=45∘\angle ABC=45^\circ∠ABC=45∘ и AB=1AB=1AB=1?
Ответ:3±73\pm\sqrt{7}3±7​

Решение

Изображение 1 Пусть BC=a,AB=c=1,AC=b.BC=a, AB=c=1, AC=b.BC=a,AB=c=1,AC=b. Из BK=KL=LCBK=KL=LCBK=KL=LC следует CL=a3,CK=2a3.CL=\dfrac{a}{3}, CK=\dfrac{2a}{3}.CL=3a​,CK=32a​. Касательная из C:(b2)2=CL⋅CK=2a29⇒b=223a.C: \left(\dfrac{b}{2}\right)^2=CL\cdot CK=\dfrac{2a^2}{9} \Rightarrow b=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} a.C:(2b​)2=CL⋅CK=92a2​⇒b=322​​a. AC2=c2+a2−2 ac=8a29 ⇒ c2−2 ac+a29=0 ⇒ c=a6(32±14).AC^2=c^2+a^2-\sqrt{2}\,ac=\dfrac{8a^2}{9}\ \Rightarrow\ c^2-\sqrt{2}\,ac+\dfrac{a^2}{9}=0\ \Rightarrow\ c=\dfrac{a}{6}\left(3\sqrt{2}\pm\sqrt{14}\right).AC2=c2+a2−2​ac=98a2​ ⇒ c2−2​ac+9a2​=0 ⇒ c=6a​(32​±14​). Условие касания даёт r=23a,r=\dfrac{\sqrt{2}}{3} a,r=32​​a, а c=r2(3±7).c=\dfrac{r}{2}\left(3\pm\sqrt{7}\right).c=2r​(3±7​). При c=1:r2(3±7)=1⇒r=23±7=3∓7.c=1: \dfrac{r}{2}\left(3\pm\sqrt{7}\right)=1 \Rightarrow r=\dfrac{2}{3\pm\sqrt{7}}=3\mp\sqrt{7}.c=1:2r​(3±7​)=1⇒r=3±7​2​=3∓7​. r=3±7.r=3\pm\sqrt{7}.r=3±7​.
Задача 6МГУ
Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав три четверти пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрёл обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий. На каком расстоянии от вершины горы он встретит Григория, если длина трассы равна 210021002100 метров, а Василий закончит спуск ровно тогда, когда Григорий доберётся до вершины горы? Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.
Ответ:900 м900\text{ м}900 м

Решение

Пусть длина трассы S=2100S=2100S=2100 м, скорость лыжника v,v,v, скорость пешехода w.w.w. Григорий сломал лыжи в точке на расстоянии 3S4\tfrac{3S}{4}43S​ от вершины и идёт пешком назад к вершине. Путь 3S4\tfrac{3S}{4}43S​ пешком он проходит за то же время, за какое Василий съезжает весь путь S:S:S: 3S4w=Sv ⇒ v=43w.\dfrac{\dfrac{3S}{4}}{w}=\dfrac{S}{v} \ \Rightarrow\ v=\dfrac{4}{3}w.w43S​​=vS​ ⇒ v=34​w. Пусть встреча на расстоянии ddd от вершины. К моменту встречи время одинаково: dv=3S4−dw.\dfrac{d}{v}=\dfrac{\tfrac{3S}{4}-d}{w}.vd​=w43S​−d​. Подставляя v=43w:3d4=3S4−d⇒7d4=3S4⇒d=3S7.v=\tfrac{4}{3}w: \quad \dfrac{3d}{4}=\dfrac{3S}{4}-d \Rightarrow \dfrac{7d}{4}=\dfrac{3S}{4} \Rightarrow d=\dfrac{3S}{7}.v=34​w:43d​=43S​−d⇒47d​=43S​⇒d=73S​. d=3⋅21007=900 м.d=\dfrac{3\cdot 2100}{7}=900\text{ м.}d=73⋅2100​=900 м.
Задача 7МГУ
В правильную треугольную призму с основаниями ABCABCABC, A′B′C′A'B'C'A′B′C′ и рёбрами AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′ вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми A′KA'KA′K и B′LB'LB′L равно 21\sqrt{21}21​, где KKK и LLL — точки, лежащие на ABABAB и BCBCBC соответственно, и AK:KB=BL:LC=2:3AK:KB=BL:LC=2:3AK:KB=BL:LC=2:3.
Ответ:145\dfrac{14}{5}514​

Решение

Изображение 1 Пусть сторона основания равна a,a,a, высота призмы h,h,h, радиус сферы r.r.r. Сфера касается обоих оснований ⇒h=2r;\Rightarrow h=2r;⇒h=2r; касается боковых граней ⇒a23=r,\Rightarrow \dfrac{a}{2\sqrt3}=r,⇒23​a​=r, откуда a=23r,h=2r.a=2\sqrt3 r, h=2r.a=23​r,h=2r. Координаты: A(0,0,0),B(a,0,0),C(a2,a32,0),A′(0,0,h),B′(a,0,h).A(0,0,0), B(a,0,0), C \left(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}{2},0\right), A'(0,0,h), B'(a,0,h).A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a​,2a3​​,0),A′(0,0,h),B′(a,0,h). K=A+25(B−A)=(2a5,0,0),L=B+25(C−B)=(4a5,a35,0).K=A+\tfrac25(B-A)=\left(\tfrac{2a}{5},0,0\right),\quad L=B+\tfrac25(C-B)=\left(\tfrac{4a}{5},\tfrac{a\sqrt3}{5},0\right).K=A+52​(B−A)=(52a​,0,0),L=B+52​(C−B)=(54a​,5a3​​,0). u⃗=K−A′=(2a5,0,−h),v⃗=L−B′=(−a5,a35,−h),w⃗=B′−A′=(a,0,0).\vec u=K-A'=\left(\tfrac{2a}{5},0,-h\right),\quad \vec v=L-B'=\left(-\tfrac a5,\tfrac{a\sqrt3}{5},-h\right),\quad \vec w=B'-A'=(a,0,0).u=K−A′=(52a​,0,−h),v=L−B′=(−5a​,5a3​​,−h),w=B′−A′=(a,0,0). ρ(A′K,B′L)=∣w⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∣u⃗×v⃗∣=52114 r.\rho(A'K,B'L)=\dfrac{|\vec w\cdot(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}=\dfrac{5\sqrt{21}}{14}\,r.ρ(A′K,B′L)=∣u×v∣∣w⋅(u×v)∣​=14521​​r. 52114 r=21 ⇒ r=145.\dfrac{5\sqrt{21}}{14}\,r=\sqrt{21}\ \Rightarrow\ r=\dfrac{14}{5}.14521​​r=21​ ⇒ r=514​.
Задача 8МГУ
Найдите все пары (x,y)(x,y)(x,y), при которых достигается минимум выражения 2−sin⁡x2+cos⁡2x+2+cos⁡2x(y+1)2+(y+1)22y+1+2y+12−sin⁡x.\dfrac{2-\sin x}{2+\cos 2x}+\dfrac{2+\cos 2x}{(y+1)^{2}}+\dfrac{(y+1)^{2}}{2\sqrt{y}+1}+\dfrac{2\sqrt{y}+1}{2-\sin x}.2+cos2x2−sinx​+(y+1)22+cos2x​+2y​+1(y+1)2​+2−sinx2y​+1​.
Ответ:x=π2+2πn (n∈Z),y=0x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\ (n\in\mathbb{Z}),\quad y=0x=2π​+2πn (n∈Z),y=0

Решение

Область определения: y⩾0.y\geqslant 0.y⩾0. Обозначим положительные величины a=2−sin⁡x,b=2+cos⁡2x,c=(y+1)2,d=2y+1.a=2-\sin x,\quad b=2+\cos 2x,\quad c=(y+1)^{2},\quad d=2\sqrt{y}+1.a=2−sinx,b=2+cos2x,c=(y+1)2,d=2y​+1. Тогда выражение равно S=ab+bc+cd+da.S=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}.S=ba​+cb​+dc​+ad​. По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом S⩾4ab⋅bc⋅cd⋅da4=4,S\geqslant 4\sqrt[4]{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{d}{a}}=4,S⩾44ba​⋅cb​⋅dc​⋅ad​​=4, равенство при a=b=c=d.a=b=c=d.a=b=c=d. Из cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^{2}xcos2x=1−2sin2x условие a=ba=ba=b даёт 2−sin⁡x=3−2sin⁡2x,2-\sin x=3-2\sin^{2}x,2−sinx=3−2sin2x, 2sin⁡2x−sin⁡x−1=0 ⟹ sin⁡x=1 или sin⁡x=−12.2\sin^{2}x-\sin x-1=0\ \Longrightarrow\ \sin x=1\ \text{или}\ \sin x=-\tfrac12.2sin2x−sinx−1=0 ⟹ sinx=1 или sinx=−21​. При y⩾0:c=(y+1)2⩾1,d=2y+1⩾1,c=d⟺(y+1)2=2y+1,y\geqslant 0: c=(y+1)^{2}\geqslant 1, d=2\sqrt{y}+1\geqslant 1, c=d \Longleftrightarrow (y+1)^{2}=2\sqrt{y}+1,y⩾0:c=(y+1)2⩾1,d=2y​+1⩾1,c=d⟺(y+1)2=2y​+1, y2+2y=2y,y^{2}+2y=2\sqrt{y},y2+2y=2y​, что при y⩾0y\geqslant 0y⩾0 выполнено лишь при y=0;y=0;y=0; тогда c=d=1.c=d=1.c=d=1. Тогда b=1,2+cos⁡2x=1,cos⁡2x=−1,sin⁡x=±1;b=1, 2+\cos 2x=1, \cos 2x=-1, \sin x=\pm 1;b=1,2+cos2x=1,cos2x=−1,sinx=±1; совместно с a=1a=1a=1 имеем sin⁡x=1.\sin x=1.sinx=1. Итак a=b=c=d=1,Smin⁡=4a=b=c=d=1, S_{\min}=4a=b=c=d=1,Smin​=4 при sin⁡x=1,y=0,\sin x=1, y=0,sinx=1,y=0, x=π2+2πn (n∈Z),y=0.x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\ (n\in\mathbb{Z}),\quad y=0.x=2π​+2πn (n∈Z),y=0.