Преобразуем, используя cos2x=cos2x−sin2x=(cosx+sinx)(cosx−sinx):(cosx+sinx)+32(cosx+sinx)(cosx−sinx)⩽0,(cosx+sinx)(1+32(cosx−sinx))⩽0. Применим cosx+sinx=2cos(x−4π),cosx−sinx=2cos(x+4π): Множитель 32⋅2=32, поэтому 2cos(x−4π)(1+32cos(x+4π))⩽0,cos(x−4π)(1+32cos(x+4π))⩽0. Произведение неположительно, когда множители разных знаков (или один из них равен нулю). Второй множитель неотрицателен ⇔cos(x+4π)⩾−23⇔x∈[−1213π+2πn,127π+2πn]. Решая систему неравенств на промежутке длины 2π и снося ответ на все периоды, получаем ответ. x∈[−1213π+2πn,−4π+2πn]∪[127π+2πn,43π+2πn],n∈Z.
Задача 4МГУ
Решите уравнение logx+1∣4x−1∣=4log∣4x−1∣x+1.
Ответ:x=−43,32,8−3+41
Решение
ОДЗ: x+1>0,x+1=1,∣4x−1∣=1. Обозначим a=x+1,a2=x+1. Пусть t=loga∣4x−1∣. Тогда уравнение t=t4⇒t2=4⇒∣4x−1∣=a2 или ∣4x−1∣=a−2.1)∣4x−1∣=x+1:4x−1=x+1⇒x=32;4x−1=−(x+1)⇒x=0(неподходит).2)∣4x−1∣=x+11⇔(4x−1)(x+1)=±1.(4x−1)(x+1)=1:4x2+3x−2=0⇒x=8−3+41( положительный корень). (4x−1)(x+1)=−1:4x2+3x=0⇒x=−43(x=0неподходит).
Задача 5МГУ
Окружность радиуса 2 касается середины стороны AC треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L, так что BK=KL=LC. Чему может равняться AB, если ∠ABC=45∘?
Ответ:3±7
Решение
Пусть BC=a,AB=c,AC=b. Из BK=KL=LC следует CL=3a,CK=32a. Касательная из C равна 2AC (точка касания — середина AC).(2b)2=CL⋅CK=3a⋅32a=92a2⇒b=322a.AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos45∘=c2+a2−2ac=98a2⇒c2−2ac+9a2=0. Условие касания даёт r2=92a2, т.е. r=32a⇒a=23r=32.c=6a(32±14)=2r(3±7)=3±7.AB=3±7.
Задача 6МГУ
Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав две трети пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрёл обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий и встретил Григория, проехав 800 метров. Найдите длину трассы, если известно, что Василий закончил спуск ровно тогда, когда Григорий добрался до вершины горы. Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.
Ответ:2км
Решение
Пусть длина трассы S, скорость лыжника v, скорость пешехода w. Григорий сломал лыжи в точке на расстоянии 32S от вершины и идёт пешком назад к вершине. Путь Григория пешком до вершины 32S он проходит за то же время, за какое Василий съезжает весь путь S:w32S=vS⇒v=23w. Встреча: Василий съезжает от вершины, Григорий идёт к вершине, к моменту встречи время одинаково. Пусть встреча на расстоянии d от вершины. Тогда vd=w32S−d. Подставляя v=23w:32d=32S−d⇒35d=32S⇒d=52S. По условию Василий проехал до встречи d=800 м: 52S=800⇒S=2000 м.
Задача 7МГУ
В правильную треугольную призму с основаниями ABC,A′B′C′ и рёбрами AA′,BB′,CC′ вписана сфера радиуса 21. Найдите расстояние между прямыми A′K и B′L, где K и L — точки, лежащие на AB и BC соответственно, и AK:KB=BL:LC=2:3.
Ответ:215
Решение
Пусть сторона основания равна a, высота h, радиус сферы r=21. Сфера касается оснований ⇒h=2r; касается боковых граней ⇒23a=r, т.е. a=23r,h=2r. Координаты: A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a3,0),A′(0,0,h),B′(a,0,h).K=A+52(B−A)=(52a,0,0),L=B+52(C−B)=(54a,5a3,0).u=K−A′=(52a,0,−h),v=L−B′=(−5a,5a3,−h),w=B′−A′=(a,0,0).ρ(A′K,B′L)=∣u×v∣∣w⋅(u×v)∣=14521r. При r=21:ρ=14521⋅21=145⋅21=215.
Задача 8МГУ
Найдите все пары (x,y), при которых достигается минимум выражения 2−cos2x2−cosx+(y2+1)22−cos2x+∣y∣+1(y2+1)2+2−cosx∣y∣+1.
Ответ:x=2πn(n∈Z),y=0
Решение
Обозначим положительные величины a=2−cosx,b=2−cos2x,c=(y2+1)2,d=∣y∣+1. Тогда выражение равно S=ba+cb+dc+ad. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим S⩾44ba⋅cb⋅dc⋅ad=4, равенство при a=b=c=d. Из cos2x=2cos2x−1 условие a=b даёт 2−cosx=3−2cos2x,2cos2x−cosx−1=0⟹cosx=1илиcosx=−21. Далее c=(y2+1)2⩾1,d=∣y∣+1⩾1,c=d⟺(y2+1)2=∣y∣+1, что при y∈R выполнено лишь при y=0; тогда c=d=1. Тогда b=1,2−cos2x=1,cos2x=1; совместно с a=1 имеем cosx=1. Итак a=b=c=d=1,Smin=4 при cosx=1,y=0,x=2πn(n∈Z),y=0.
Пусть 
Пусть сторона основания равна