ДВИ МГУ 2015, Поток 2 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите

f(3)

, если

f(x)=\dfrac{x}{4}+\dfrac{5}{x}+\dfrac{7}{12}

.

Задача 2МГУ

Найдите сумму квадратов корней уравнения

x^2+9x-2=0

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\sin x+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,\cos 2x+\cos x\leqslant 0.

Решение

Преобразуем, используя

\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x):

(\cos x+\sin x)+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)\leqslant 0,

(\cos x+\sin x)\bigl(1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x-\sin x)\bigr)\leqslant 0.

Применим

\cos x+\sin x=\sqrt2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right),\quad \cos x-\sin x=\sqrt2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right):

Множитель

\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\sqrt2=\dfrac{2}{\sqrt3},

поэтому

\sqrt2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\left(1+\dfrac{2}{\sqrt3}\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\right)\leqslant 0,

\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\left(1+\dfrac{2}{\sqrt3}\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\right)\leqslant 0.

Произведение неположительно, когда множители разных знаков (или один из них равен нулю). Второй множитель неотрицателен

\Leftrightarrow \cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant-\tfrac{\sqrt3}{2} \Leftrightarrow x\in\left[-\tfrac{13\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{7\pi}{12}+2\pi n\right].

Решая систему неравенств на промежутке длины

2\pi

и снося ответ на все периоды, получаем ответ.

x\in\left[-\dfrac{13\pi}{12}+2\pi n,\ -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{12}+2\pi n,\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\log_{\sqrt{x+1}} |4x-1| = 4\log_{|4x-1|} \sqrt{x+1}

.

Задача 5МГУ

Окружность радиуса

2

касается середины стороны

AC

треугольника

ABC

и пересекает сторону

BC

в точках

K

и

L

, так что

BK=KL=LC

. Чему может равняться

AB

, если

\angle ABC=45^\circ

?

Задача 6МГУ

Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав две трети пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрёл обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий и встретил Григория, проехав

800

метров. Найдите длину трассы, если известно, что Василий закончил спуск ровно тогда, когда Григорий добрался до вершины горы. Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.

Задача 7МГУ

В правильную треугольную призму с основаниями

ABC

,

A'B'C'

и рёбрами

AA'

,

BB'

,

CC'

вписана сфера радиуса

\sqrt{21}

. Найдите расстояние между прямыми

A'K

и

B'L

, где

K

и

L

— точки, лежащие на

AB

и

BC

соответственно, и

AK:KB=BL:LC=2:3

.

Задача 8МГУ

Найдите все пары

(x,y)

, при которых достигается минимум выражения

\dfrac{2-\cos x}{2-\cos 2x}+\dfrac{2-\cos 2x}{(y^{2}+1)^{2}}+\dfrac{(y^{2}+1)^{2}}{|y|+1}+\dfrac{|y|+1}{2-\cos x}.