Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ДВИ МГУ по математике — 2015, Поток 1

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4
Задача 1МГУ
Найдите f(2)f(2)f(2), если f(x)=x5+3x+110f(x)=\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{10}f(x)=5x​+x3​+101​.
Ответ:2

Решение

f(2)=25+32+110=410+1510+110=2010=2.f(2)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{10}+\dfrac{15}{10}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{20}{10}=2.f(2)=52​+23​+101​=104​+1015​+101​=1020​=2.
Задача 2МГУ
Найдите сумму квадратов корней уравнения x2−7x+5=0x^2-7x+5=0x2−7x+5=0.
Ответ:39

Решение

По теореме Виета x1+x2=7,x1x2=5.x_1+x_2=7, x_1 x_2=5.x1​+x2​=7,x1​x2​=5. x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=72−2⋅5=49−10=39.x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=7^2-2\cdot5=49-10=39.x12​+x22​=(x1​+x2​)2−2x1​x2​=72−2⋅5=49−10=39.
Задача 3МГУ
Решите неравенство cos⁡x+2cos⁡2x−sin⁡x⩾0.\cos x+\sqrt2\cos 2x-\sin x\geqslant 0.cosx+2​cos2x−sinx⩾0.
Ответ:x∈[−5π12+2πn, π4+2πn]∪[11π12+2πn, 5π4+2πn], n∈Zx\in\left[-\dfrac{5\pi}{12}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{12}+2\pi n,\ \dfrac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}x∈[−125π​+2πn, 4π​+2πn]∪[1211π​+2πn, 45π​+2πn], n∈Z

Решение

Преобразуем, используя cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x):\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x):cos2x=cos2x−sin2x=(cosx−sinx)(cosx+sinx): cos⁡x+2 (cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)−sin⁡x⩾0,\cos x+\sqrt2\,(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-\sin x\geqslant 0,cosx+2​(cosx−sinx)(cosx+sinx)−sinx⩾0, (cos⁡x−sin⁡x)+2 (cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)⩾0,(\cos x-\sin x)+\sqrt2\,(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\geqslant 0,(cosx−sinx)+2​(cosx−sinx)(cosx+sinx)⩾0, (cos⁡x−sin⁡x)(1+2 (cos⁡x+sin⁡x))⩾0.(\cos x-\sin x)\bigl(1+\sqrt2\,(\cos x+\sin x)\bigr)\geqslant 0.(cosx−sinx)(1+2​(cosx+sinx))⩾0. Применим cos⁡x−sin⁡x=2cos⁡(x+π4),cos⁡x+sin⁡x=2cos⁡(x−π4):\cos x-\sin x=\sqrt2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right),\quad \cos x+\sin x=\sqrt2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right):cosx−sinx=2​cos(x+4π​),cosx+sinx=2​cos(x−4π​): 2cos⁡ ⁣(x+π4)(1+2cos⁡ ⁣(x−π4))⩾0,\sqrt2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigl(1+2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)\geqslant 0,2​cos(x+4π​)(1+2cos(x−4π​))⩾0, cos⁡ ⁣(x+π4)(1+2cos⁡ ⁣(x−π4))⩾0.\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigl(1+2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)\geqslant 0.cos(x+4π​)(1+2cos(x−4π​))⩾0. Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака. Первый множитель cos⁡(x+π4)⩾0⇔x∈[−3π4+2πn,π4+2πn].\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow x\in\left[-\tfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \tfrac{\pi}{4}+2\pi n\right].cos(x+4π​)⩾0⇔x∈[−43π​+2πn,4π​+2πn]. Второй множитель 1+2cos⁡(x−π4)⩾0⇔cos⁡(x−π4)⩾−12⇔x∈[−5π12+2πn,11π12+2πn].1+2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow \cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant-\tfrac12 \Leftrightarrow x\in\left[-\tfrac{5\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{11\pi}{12}+2\pi n\right].1+2cos(x−4π​)⩾0⇔cos(x−4π​)⩾−21​⇔x∈[−125π​+2πn,1211π​+2πn]. Пересечение «оба плюс» даёт x∈[−5π12+2πn,π4+2πn].x\in\left[-\tfrac{5\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{\pi}{4}+2\pi n\right].x∈[−125π​+2πn,4π​+2πn]. Пересечение «оба минус» даёт x∈[11π12+2πn,5π4+2πn].x\in\left[\tfrac{11\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{5\pi}{4}+2\pi n\right].x∈[1211π​+2πn,45π​+2πn]. Объединяя оба случая, получаем ответ. x∈[−5π12+2πn, π4+2πn]∪[11π12+2πn, 5π4+2πn], n∈Z.x\in\left[-\dfrac{5\pi}{12}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{12}+2\pi n,\ \dfrac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.x∈[−125π​+2πn, 4π​+2πn]∪[1211π​+2πn, 45π​+2πn], n∈Z.
Задача 4МГУ
Решите уравнение log⁡x∣2x2−3∣=4log⁡∣2x2−3∣x\log_x |2x^2-3| = 4\log_{|2x^2-3|} xlogx​∣2x2−3∣=4log∣2x2−3∣​x.
Ответ:x=12, 3, 3+172x=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \sqrt{3},\ \dfrac{\sqrt{3+\sqrt{17}}}{2}x=2​1​, 3​, 23+17​​​

Решение

ОДЗ: x>0,x≠1,∣2x2−3∣≠1.x>0, x\neq 1, |2x^2-3|\neq 1.x>0,x=1,∣2x2−3∣=1. Пусть t=log⁡x∣2x2−3∣.t=\log_x|2x^2-3|.t=logx​∣2x2−3∣. Тогда log⁡∣2x2−3∣x=1t,\log_{|2x^2-3|}x=\dfrac{1}{t},log∣2x2−3∣​x=t1​, и уравнение примет вид t=4t.t=\dfrac{4}{t}.t=t4​. t2=4  ⇒  t=±2  ⇒  ∣2x2−3∣=x2 или ∣2x2−3∣=x−2.t^2=4 \;\Rightarrow\; t=\pm 2 \;\Rightarrow\; |2x^2-3|=x^2 \ \text{или}\ |2x^2-3|=x^{-2}.t2=4⇒t=±2⇒∣2x2−3∣=x2 или ∣2x2−3∣=x−2. 1) ∣2x2−3∣=x2: 2x2−3=x2⇒x2=3⇒x=3;  2x2−3=−x2⇒x2=1 (не подходит).1)\ |2x^2-3|=x^2:\ 2x^2-3=x^2\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\sqrt{3}; \ \ 2x^2-3=-x^2\Rightarrow x^2=1 \ (\text{не подходит}).1) ∣2x2−3∣=x2: 2x2−3=x2⇒x2=3⇒x=3​;  2x2−3=−x2⇒x2=1 (не подходит). 2) ∣2x2−3∣=x−2: 2x4−3x2−1=0⇒x2=3+174⇒x=3+172.2)\ |2x^2-3|=x^{-2}:\ 2x^4-3x^2-1=0\Rightarrow x^2=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{17}}}{2}.2) ∣2x2−3∣=x−2: 2x4−3x2−1=0⇒x2=43+17​​⇒x=23+17​​​.    2x4−3x2+1=0⇒(2x2−1)(x2−1)=0⇒x2=12⇒x=12 (x2=1 не подходит).\;\ 2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow (2x^2-1)(x^2-1)=0\Rightarrow x^2=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ (x^2=1 \text{ не подходит}). 2x4−3x2+1=0⇒(2x2−1)(x2−1)=0⇒x2=21​⇒x=2​1​ (x2=1 не подходит).
Задача 5МГУ
Окружность радиуса 32\dfrac{3}{2}23​ касается середины стороны BCBCBC треугольника ABCABCABC и пересекает сторону ABABAB в точках DDD и EEE, так что AD:DE:EB=1:2:1AD:DE:EB=1:2:1AD:DE:EB=1:2:1. Чему может равняться ACACAC, если ∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ∠BAC=30∘?
Ответ:3±2\sqrt{3}\pm\sqrt{2}3​±2​

Решение

Изображение 1 Пусть AB=c,AC=b.AB=c, AC=b.AB=c,AC=b. Из AD:DE:EB=1:2:1AD:DE:EB=1:2:1AD:DE:EB=1:2:1 следует BE=c4,BD=3c4.BE=\dfrac{c}{4}, BD=\dfrac{3c}{4}.BE=4c​,BD=43c​. Касательная из BBB равна BM=BC2,BM=\dfrac{BC}{2},BM=2BC​, где MMM — точка касания (середина BC).BC).BC). BM2=BE⋅BD=c4⋅3c4=3c216 ⇒ BC=32 c.BM^2=BE\cdot BD=\dfrac{c}{4}\cdot\dfrac{3c}{4}=\dfrac{3c^2}{16}\ \Rightarrow\ BC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,c.BM2=BE⋅BD=4c​⋅43c​=163c2​ ⇒ BC=23​​c. BC2=b2+c2−2bccos⁡30∘=b2+c2−3 bc=3c24 ⇒ b2−3 bc+c24=0.BC^2=b^2+c^2-2bc\cos30^\circ=b^2+c^2-\sqrt{3}\,bc=\dfrac{3c^2}{4}\ \Rightarrow\ b^2-\sqrt{3}\,bc+\dfrac{c^2}{4}=0.BC2=b2+c2−2bccos30∘=b2+c2−3​bc=43c2​ ⇒ b2−3​bc+4c2​=0. Центр OOO лежит на серединном перпендикуляре к DE;DE;DE; его расстояние до ABABAB равно h,r2=(c4)2+h2.h, r^2=\left(\dfrac{c}{4}\right)^2+h^2.h,r2=(4c​)2+h2. Подстановка даёт r2=9c216,r^2=\dfrac{9c^2}{16},r2=169c2​, т.е. r=34c⇒c=4r3=2.r=\dfrac{3}{4} c \Rightarrow c=\dfrac{4r}{3}=2.r=43​c⇒c=34r​=2. b2−23 b+1=0 ⇒ b=3±2.b^2-2\sqrt{3}\,b+1=0\ \Rightarrow\ b=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}.b2−23​b+1=0 ⇒ b=3​±2​. AC=3±2.AC=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}.AC=3​±2​.
Задача 6МГУ
Велосипедист Василий выехал из пункта А\text{А}А в пункт Б\text{Б}Б. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадёжно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошёл пешком обратно в пункт А\text{А}А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А\text{А}А выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от пункта А\text{А}А он встретит Василия, если пункт Б\text{Б}Б отстоит от А\text{А}А на 444 км, а Василий доберётся до пункта А\text{А}А тогда же, когда Григорий до пункта Б\text{Б}Б? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.
Ответ:1 км1\text{ км}1 км

Решение

Пусть полный путь S=4S=4S=4 км. Поломка произошла в точке на расстоянии S3\tfrac{S}{3}3S​ от А. Обозначим скорость пешехода w,w,w, скорость мотоцикла m.m.m. Василий идёт пешком от S3\tfrac{S}{3}3S​ до А за время t1=S3w;t_1=\dfrac{\dfrac{S}{3}}{w};t1​=w3S​​; Григорий едет от А до Б за t2=Sm.t_2=\dfrac{S}{m}.t2​=mS​. По условию t1=t2:S3w=Sm⇒m=3w.t_1=t_2: \quad \dfrac{\dfrac{S}{3}}{w}=\dfrac{S}{m} \Rightarrow m=3w.t1​=t2​:w3S​​=mS​⇒m=3w. Пусть встреча произошла на расстоянии xxx от А. К моменту встречи время одинаково: S3−xw=xm=x3w ⇒ S3−x=x3 ⇒ S3=4x3 ⇒ x=S4.\dfrac{\tfrac{S}{3}-x}{w}=\dfrac{x}{m}=\dfrac{x}{3w} \ \Rightarrow\ \tfrac{S}{3}-x=\dfrac{x}{3} \ \Rightarrow\ \tfrac{S}{3}=\dfrac{4x}{3} \ \Rightarrow\ x=\dfrac{S}{4}.w3S​−x​=mx​=3wx​ ⇒ 3S​−x=3x​ ⇒ 3S​=34x​ ⇒ x=4S​. x=44=1 км.x=\dfrac{4}{4}=1\text{ км.}x=44​=1 км.
Задача 7МГУ
В правильную треугольную призму с основаниями ABCABCABC, A′B′C′A'B'C'A′B′C′ и рёбрами AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′ вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми AEAEAE и BDBDBD равно 13\sqrt{13}13​, где EEE и DDD — точки, лежащие на A′B′A'B'A′B′ и B′C′B'C'B′C′ соответственно, и A′E:EB′=B′D:DC′=1:2A'E:EB'=B'D:DC'=1:2A′E:EB′=B′D:DC′=1:2.
Ответ:136\dfrac{13}{6}613​

Решение

Изображение 1 Пусть сторона основания равна a,a,a, высота призмы h,h,h, радиус сферы r.r.r. Сфера касается обоих оснований ⇒h=2r;\Rightarrow h=2r;⇒h=2r; касается боковых граней ⇒\Rightarrow⇒ радиус вписанной в основание окружности a23=r,\dfrac{a}{2\sqrt3}=r,23​a​=r, откуда a=23r,h=2r.a=2\sqrt3 r,\quad h=2r.a=23​r,h=2r. Введём координаты: A(0,0,0),B(a,0,0),C(a2,a32,0),A′(0,0,h),B′(a,0,h),C′(a2,a32,h).A(0,0,0), B(a,0,0), C \left(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}{2},0\right), A'(0,0,h), B'(a,0,h), C' \left(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}{2},h\right).A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a​,2a3​​,0),A′(0,0,h),B′(a,0,h),C′(2a​,2a3​​,h). E=A′+13(B′−A′)=(a3,0,h),D=B′+13(C′−B′)=(5a6,a36,h).E=A'+\tfrac13(B'-A')=\left(\tfrac a3,0,h\right),\quad D=B'+\tfrac13(C'-B')=\left(\tfrac{5a}{6},\tfrac{a\sqrt3}{6},h\right).E=A′+31​(B′−A′)=(3a​,0,h),D=B′+31​(C′−B′)=(65a​,6a3​​,h). u⃗=E−A=(a3,0,h),v⃗=D−B=(−a6,a36,0),w⃗=B−A=(a,0,0).\vec u=E-A=\left(\tfrac a3,0,h\right),\quad \vec v=D-B=\left(-\tfrac a6,\tfrac{a\sqrt3}{6},0\right),\quad \vec w=B-A=(a,0,0).u=E−A=(3a​,0,h),v=D−B=(−6a​,6a3​​,0),w=B−A=(a,0,0). ρ(AE,BD)=∣w⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∣u⃗×v⃗∣=6r13=61313 r.\rho(AE,BD)=\dfrac{|\vec w\cdot(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}=\dfrac{6r}{\sqrt{13}}=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}\,r.ρ(AE,BD)=∣u×v∣∣w⋅(u×v)∣​=13​6r​=13613​​r. 613 r=13 ⇒ r=136.\dfrac{6}{\sqrt{13}}\,r=\sqrt{13}\ \Rightarrow\ r=\dfrac{13}{6}.13​6​r=13​ ⇒ r=613​.
Задача 8МГУ
Найдите все пары (α,β)(\alpha,\beta)(α,β), при которых достигается минимум выражения 4−3sin⁡α2+cos⁡2α+2+cos⁡2αβ2+β+1+β2+β+1β+1+β+14−3sin⁡α.\dfrac{4-3\sin\alpha}{2+\cos 2\alpha}+\dfrac{2+\cos 2\alpha}{\beta^{2}+\beta+1}+\dfrac{\beta^{2}+\beta+1}{\sqrt{\beta}+1}+\dfrac{\sqrt{\beta}+1}{4-3\sin\alpha}.2+cos2α4−3sinα​+β2+β+12+cos2α​+β​+1β2+β+1​+4−3sinαβ​+1​.
Ответ:α=π2+2πn (n∈Z),β=0\alpha=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\ (n\in\mathbb{Z}),\quad \beta=0α=2π​+2πn (n∈Z),β=0

Решение

Область определения: β⩾0.\beta\geqslant 0.β⩾0. Обозначим положительные величины a=4−3sin⁡α,b=2+cos⁡2α,c=β2+β+1,d=β+1.a=4-3\sin\alpha,\quad b=2+\cos 2\alpha,\quad c=\beta^{2}+\beta+1,\quad d=\sqrt{\beta}+1.a=4−3sinα,b=2+cos2α,c=β2+β+1,d=β​+1. Тогда выражение равно S=ab+bc+cd+da.S=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}.S=ba​+cb​+dc​+ad​. По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом S⩾4ab⋅bc⋅cd⋅da4=4,S\geqslant 4\sqrt[4]{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{d}{a}}=4,S⩾44ba​⋅cb​⋅dc​⋅ad​​=4, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c=d.a=b=c=d.a=b=c=d. Поскольку 1⩽4−3sin⁡α⩽7,1⩽2+cos⁡2α⩽3,1\leqslant 4-3\sin\alpha\leqslant 7, 1\leqslant 2+\cos 2\alpha\leqslant 3,1⩽4−3sinα⩽7,1⩽2+cos2α⩽3, а из cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alphacos2α=1−2sin2α условие a=ba=ba=b даёт 4−3sin⁡α=3−2sin⁡2α,4-3\sin\alpha=3-2\sin^{2}\alpha,4−3sinα=3−2sin2α, 2sin⁡2α−3sin⁡α+1=0 ⟹ sin⁡α=1 или sin⁡α=12.2\sin^{2}\alpha-3\sin\alpha+1=0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha=1\ \text{или}\ \sin\alpha=\tfrac12.2sin2α−3sinα+1=0 ⟹ sinα=1 или sinα=21​. При β⩾0:c=β2+β+1⩾1,d=β+1⩾1,\beta\geqslant 0: c=\beta^{2}+\beta+1\geqslant 1, d=\sqrt{\beta}+1\geqslant 1,β⩾0:c=β2+β+1⩾1,d=β​+1⩾1, и c=d⟺β2+β=β,c=d \Longleftrightarrow \beta^{2}+\beta=\sqrt{\beta},c=d⟺β2+β=β​, что при β⩾0\beta\geqslant 0β⩾0 выполнено лишь при β=0;\beta=0;β=0; тогда c=d=1.c=d=1.c=d=1. Значит b=1,b=1,b=1, т.е. 2+cos⁡2α=1,cos⁡2α=−1,sin⁡α=±1;2+\cos 2\alpha=1, \cos 2\alpha=-1, \sin\alpha=\pm 1;2+cos2α=1,cos2α=−1,sinα=±1; совместно с a=b=1a=b=1a=b=1 получаем 4−3sin⁡α=1,sin⁡α=1.4-3\sin\alpha=1, \sin\alpha=1.4−3sinα=1,sinα=1. Итак a=b=c=d=1,Smin⁡=4a=b=c=d=1, S_{\min}=4a=b=c=d=1,Smin​=4 достигается при sin⁡α=1,β=0,\sin\alpha=1, \beta=0,sinα=1,β=0, α=π2+2πn (n∈Z),β=0.\alpha=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\ (n\in\mathbb{Z}),\quad \beta=0.α=2π​+2πn (n∈Z),β=0.