ДВИ МГУ 2015, Поток 1 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите

f(2)

, если

f(x)=\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{10}

.

Задача 2МГУ

Найдите сумму квадратов корней уравнения

x^2-7x+5=0

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\cos x+\sqrt2\cos 2x-\sin x\geqslant 0.

Решение

Преобразуем, используя

\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x):

\cos x+\sqrt2\,(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-\sin x\geqslant 0,

(\cos x-\sin x)+\sqrt2\,(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\geqslant 0,

(\cos x-\sin x)\bigl(1+\sqrt2\,(\cos x+\sin x)\bigr)\geqslant 0.

Применим

\cos x-\sin x=\sqrt2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right),\quad \cos x+\sin x=\sqrt2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right):

\sqrt2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigl(1+2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)\geqslant 0,

\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigl(1+2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)\geqslant 0.

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака. Первый множитель

\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow x\in\left[-\tfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \tfrac{\pi}{4}+2\pi n\right].

Второй множитель

1+2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow \cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant-\tfrac12 \Leftrightarrow x\in\left[-\tfrac{5\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{11\pi}{12}+2\pi n\right].

Пересечение «оба плюс» даёт

x\in\left[-\tfrac{5\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{\pi}{4}+2\pi n\right].

Пересечение «оба минус» даёт

x\in\left[\tfrac{11\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{5\pi}{4}+2\pi n\right].

Объединяя оба случая, получаем ответ.

x\in\left[-\dfrac{5\pi}{12}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{12}+2\pi n,\ \dfrac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\log_x |2x^2-3| = 4\log_{|2x^2-3|} x

.

Задача 5МГУ

Окружность радиуса

\dfrac{3}{2}

касается середины стороны

BC

треугольника

ABC

и пересекает сторону

AB

в точках

D

и

E

, так что

AD:DE:EB=1:2:1

. Чему может равняться

AC

, если

\angle BAC=30^\circ

?

Задача 6МГУ

Велосипедист Василий выехал из пункта

\text{А}

в пункт

\text{Б}

. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадёжно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошёл пешком обратно в пункт

\text{А}

за новым велосипедом. В момент поломки из пункта

\text{А}

выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от пункта

\text{А}

он встретит Василия, если пункт

\text{Б}

отстоит от

\text{А}

на

4

км, а Василий доберётся до пункта

\text{А}

тогда же, когда Григорий до пункта

\text{Б}

? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.

Задача 7МГУ

В правильную треугольную призму с основаниями

ABC

,

A'B'C'

и рёбрами

AA'

,

BB'

,

CC'

вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми

AE

и

BD

равно

\sqrt{13}

, где

E

и

D

— точки, лежащие на

A'B'

и

B'C'

соответственно, и

A'E:EB'=B'D:DC'=1:2

.

Задача 8МГУ

Найдите все пары

(\alpha,\beta)

, при которых достигается минимум выражения

\dfrac{4-3\sin\alpha}{2+\cos 2\alpha}+\dfrac{2+\cos 2\alpha}{\beta^{2}+\beta+1}+\dfrac{\beta^{2}+\beta+1}{\sqrt{\beta}+1}+\dfrac{\sqrt{\beta}+1}{4-3\sin\alpha}.

Решение

Область определения:

\beta\geqslant 0.

Обозначим положительные величины

a=4-3\sin\alpha,\quad b=2+\cos 2\alpha,\quad c=\beta^{2}+\beta+1,\quad d=\sqrt{\beta}+1.

Тогда выражение равно

S=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}.

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом

S\geqslant 4\sqrt[4]{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{d}{a}}=4,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

a=b=c=d.

Поскольку

1\leqslant 4-3\sin\alpha\leqslant 7, 1\leqslant 2+\cos 2\alpha\leqslant 3,

а из

\cos 2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha

условие

a=b

даёт

4-3\sin\alpha=3-2\sin^{2}\alpha,

2\sin^{2}\alpha-3\sin\alpha+1=0\ \Longrightarrow\ \sin\alpha=1\ \text{или}\ \sin\alpha=\tfrac12.

При

\beta\geqslant 0: c=\beta^{2}+\beta+1\geqslant 1, d=\sqrt{\beta}+1\geqslant 1,

и

c=d \Longleftrightarrow \beta^{2}+\beta=\sqrt{\beta},

что при

\beta\geqslant 0

выполнено лишь при

\beta=0;

тогда

c=d=1.

Значит

b=1,

т.е.

2+\cos 2\alpha=1, \cos 2\alpha=-1, \sin\alpha=\pm 1;

совместно с

a=b=1

получаем

4-3\sin\alpha=1, \sin\alpha=1.

Итак

a=b=c=d=1, S_{\min}=4

достигается при

\sin\alpha=1, \beta=0,

\alpha=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\ (n\in\mathbb{Z}),\quad \beta=0.