Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ДВИ МГУ по математике — 2015, Поток 3

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4
Задача 1МГУ
Найдите f(5)f(5)f(5), если f(x)=x3+4x−715f(x)=\dfrac{x}{3}+\dfrac{4}{x}-\dfrac{7}{15}f(x)=3x​+x4​−157​.
Ответ:2

Решение

f(5)=53+45−715=2515+1215−715=3015=2.f(5)=\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{15}=\dfrac{25}{15}+\dfrac{12}{15}-\dfrac{7}{15}=\dfrac{30}{15}=2.f(5)=35​+54​−157​=1525​+1512​−157​=1530​=2.
Задача 2МГУ
Найдите сумму квадратов корней уравнения x2−8x−3=0x^2-8x-3=0x2−8x−3=0.
Ответ:70

Решение

По теореме Виета x1+x2=8,x1x2=−3.x_1+x_2=8, x_1 x_2=-3.x1​+x2​=8,x1​x2​=−3. x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=82−2⋅(−3)=64+6=70.x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=8^2-2\cdot(-3)=64+6=70.x12​+x22​=(x1​+x2​)2−2x1​x2​=82−2⋅(−3)=64+6=70.
Задача 3МГУ
Решите неравенство cos⁡x−2cos⁡2x+sin⁡x⩽0.\cos x-\sqrt2\cos 2x+\sin x\leqslant 0.cosx−2​cos2x+sinx⩽0.
Ответ:x∈[−π4+2πn, π12+2πn]∪[3π4+2πn, 17π12+2πn], n∈Zx\in\left[-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{12}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{17\pi}{12}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}x∈[−4π​+2πn, 12π​+2πn]∪[43π​+2πn, 1217π​+2πn], n∈Z

Решение

Преобразуем, используя cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x):\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x):cos2x=cos2x−sin2x=(cosx+sinx)(cosx−sinx): (cos⁡x+sin⁡x)−2 (cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x)⩽0,(\cos x+\sin x)-\sqrt2\,(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)\leqslant 0,(cosx+sinx)−2​(cosx+sinx)(cosx−sinx)⩽0, (cos⁡x+sin⁡x)(1−2 (cos⁡x−sin⁡x))⩽0.(\cos x+\sin x)\bigl(1-\sqrt2\,(\cos x-\sin x)\bigr)\leqslant 0.(cosx+sinx)(1−2​(cosx−sinx))⩽0. Применим cos⁡x+sin⁡x=2cos⁡(x−π4),cos⁡x−sin⁡x=2cos⁡(x+π4):\cos x+\sin x=\sqrt2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right),\quad \cos x-\sin x=\sqrt2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right):cosx+sinx=2​cos(x−4π​),cosx−sinx=2​cos(x+4π​): 2cos⁡ ⁣(x−π4)(1−2cos⁡ ⁣(x+π4))⩽0,\sqrt2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\bigl(1-2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)\leqslant 0,2​cos(x−4π​)(1−2cos(x+4π​))⩽0, cos⁡ ⁣(x−π4)(1−2cos⁡ ⁣(x+π4))⩽0.\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\bigl(1-2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)\leqslant 0.cos(x−4π​)(1−2cos(x+4π​))⩽0. Первый множитель cos⁡(x−π4)⩾0⇔x∈[−π4+2πn,3π4+2πn].\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow x\in\left[-\tfrac{\pi}{4}+2\pi n, \tfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right].cos(x−4π​)⩾0⇔x∈[−4π​+2πn,43π​+2πn]. Второй множитель 1−2cos⁡(x+π4)⩾0⇔cos⁡(x+π4)⩽12⇔x∈[π12+2πn,17π12+2πn].1-2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow \cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\leqslant\tfrac12 \Leftrightarrow x\in\left[\tfrac{\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{17\pi}{12}+2\pi n\right].1−2cos(x+4π​)⩾0⇔cos(x+4π​)⩽21​⇔x∈[12π​+2πn,1217π​+2πn]. Произведение неположительно, когда множители разных знаков; объединяя соответствующие пересечения, получаем ответ. x∈[−π4+2πn, π12+2πn]∪[3π4+2πn, 17π12+2πn], n∈Z.x\in\left[-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{12}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{17\pi}{12}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.x∈[−4π​+2πn, 12π​+2πn]∪[43π​+2πn, 1217π​+2πn], n∈Z.
Задача 4МГУ
Решите уравнение log⁡x∣3x2−4∣=4log⁡∣3x2−4∣x\log_x |3x^2-4| = 4\log_{|3x^2-4|} xlogx​∣3x2−4∣=4log∣3x2−4∣​x.
Ответ:x=13, 2, 2+73x=\dfrac{1}{\sqrt{3}},\ \sqrt{2},\ \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}x=3​1​, 2​, 32+7​​​

Решение

ОДЗ: x>0,x≠1,∣3x2−4∣≠1.x>0, x\neq 1, |3x^2-4|\neq 1.x>0,x=1,∣3x2−4∣=1. Пусть t=log⁡x∣3x2−4∣.t=\log_x|3x^2-4|.t=logx​∣3x2−4∣. Тогда t=4t⇒t2=4⇒∣3x2−4∣=x2t=\dfrac{4}{t}\Rightarrow t^2=4\Rightarrow |3x^2-4|=x^2t=t4​⇒t2=4⇒∣3x2−4∣=x2 или ∣3x2−4∣=x−2.|3x^2-4|=x^{-2}.∣3x2−4∣=x−2. 1) ∣3x2−4∣=x2: 3x2−4=x2⇒x2=2⇒x=2;  3x2−4=−x2⇒x2=1 (не подходит).1)\ |3x^2-4|=x^2:\ 3x^2-4=x^2\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}; \ \ 3x^2-4=-x^2\Rightarrow x^2=1 \ (\text{не подходит}).1) ∣3x2−4∣=x2: 3x2−4=x2⇒x2=2⇒x=2​;  3x2−4=−x2⇒x2=1 (не подходит). 2) ∣3x2−4∣=x−2: 3x4−4x2−1=0⇒x2=2+73⇒x=2+73.2)\ |3x^2-4|=x^{-2}:\ 3x^4-4x^2-1=0\Rightarrow x^2=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}.2) ∣3x2−4∣=x−2: 3x4−4x2−1=0⇒x2=32+7​​⇒x=32+7​​​.    3x4−4x2+1=0⇒(3x2−1)(x2−1)=0⇒x2=13⇒x=13 (x2=1 не подходит).\;\ 3x^4-4x^2+1=0\Rightarrow (3x^2-1)(x^2-1)=0\Rightarrow x^2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \ (x^2=1 \text{ не подходит}). 3x4−4x2+1=0⇒(3x2−1)(x2−1)=0⇒x2=31​⇒x=3​1​ (x2=1 не подходит).
Задача 5МГУ
Окружность касается середины стороны BCBCBC треугольника ABCABCABC и пересекает сторону ABABAB в точках DDD и EEE, так что AD:DE:EB=1:2:1AD:DE:EB=1:2:1AD:DE:EB=1:2:1. Чему может равняться радиус окружности, если ∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ∠BAC=30∘ и AC=23AC=\dfrac{2}{3}AC=32​?
Ответ:3±2\sqrt{3}\pm\sqrt{2}3​±2​

Решение

Изображение 1 Пусть AB=c,AC=b=23.AB=c, AC=b=\dfrac{2}{3}.AB=c,AC=b=32​. Из AD:DE:EB=1:2:1AD:DE:EB=1:2:1AD:DE:EB=1:2:1 следует BE=c4,BD=3c4.BE=\dfrac{c}{4}, BD=\dfrac{3c}{4}.BE=4c​,BD=43c​. Касательная из B:(BC2)2=BE⋅BD=3c216⇒BC=32c.B: \left(\dfrac{BC}{2}\right)^2=BE\cdot BD=\dfrac{3c^2}{16} \Rightarrow BC=\dfrac{\sqrt{3}}{2} c.B:(2BC​)2=BE⋅BD=163c2​⇒BC=23​​c. BC2=b2+c2−3 bc=3c24 ⇒ b2−3 bc+c24=0.BC^2=b^2+c^2-\sqrt{3}\,bc=\dfrac{3c^2}{4}\ \Rightarrow\ b^2-\sqrt{3}\,bc+\dfrac{c^2}{4}=0.BC2=b2+c2−3​bc=43c2​ ⇒ b2−3​bc+4c2​=0. Условие касания даёт r=34c,r=\dfrac{3}{4} c,r=43​c, а из квадратного уравнения b=c2(3±2).b=\dfrac{c}{2}\left(\sqrt{3}\pm\sqrt{2}\right).b=2c​(3​±2​). Отсюда b=2r3(3±2)=23⇒r=13±2=3∓2.b=\dfrac{2r}{3}\left(\sqrt{3}\pm\sqrt{2}\right)=\dfrac{2}{3} \Rightarrow r=\dfrac{1}{\sqrt{3}\pm\sqrt{2}}=\sqrt{3}\mp\sqrt{2}.b=32r​(3​±2​)=32​⇒r=3​±2​1​=3​∓2​. r=3±2.r=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}.r=3​±2​.
Задача 6МГУ
Велосипедист Василий выехал из пункта А\text{А}А в пункт Б\text{Б}Б. Проехав четверть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадёжно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошёл пешком обратно в пункт А\text{А}А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А\text{А}А выехал мотоциклист Григорий и, проехав 444 км, встретил Василия. Найдите расстояние между пунктами А\text{А}А и Б\text{Б}Б, если известно, что Василий добрался до пункта А\text{А}А тогда же, когда Григорий до пункта Б\text{Б}Б. Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.
Ответ:20 км20\text{ км}20 км

Решение

Пусть полный путь S.S.S. Поломка произошла в точке на расстоянии S4\tfrac{S}{4}4S​ от А. Обозначим скорость пешехода w,w,w, скорость мотоцикла m.m.m. Василий идёт пешком от S4\tfrac{S}{4}4S​ до А за t1=S4w;t_1=\dfrac{\dfrac{S}{4}}{w};t1​=w4S​​; Григорий едет от А до Б за t2=Sm.t_2=\dfrac{S}{m}.t2​=mS​. По условию t1=t2:S4w=Sm⇒m=4w.t_1=t_2: \quad \dfrac{\dfrac{S}{4}}{w}=\dfrac{S}{m} \Rightarrow m=4w.t1​=t2​:w4S​​=mS​⇒m=4w. Григорий проехал до встречи x=4x=4x=4 км. К моменту встречи время одинаково: S4−xw=xm=x4w ⇒ S4−x=x4 ⇒ S4=5x4 ⇒ S=5x.\dfrac{\tfrac{S}{4}-x}{w}=\dfrac{x}{m}=\dfrac{x}{4w} \ \Rightarrow\ \tfrac{S}{4}-x=\dfrac{x}{4} \ \Rightarrow\ \tfrac{S}{4}=\dfrac{5x}{4} \ \Rightarrow\ S=5x.w4S​−x​=mx​=4wx​ ⇒ 4S​−x=4x​ ⇒ 4S​=45x​ ⇒ S=5x. S=5⋅4=20 км.S=5\cdot 4=20\text{ км.}S=5⋅4=20 км.
Задача 7МГУ
В правильную треугольную призму с основаниями ABCABCABC, A′B′C′A'B'C'A′B′C′ и рёбрами AA′AA'AA′, BB′BB'BB′, CC′CC'CC′ вписана сфера радиуса 13\sqrt{13}13​. Найдите расстояние между прямыми AEAEAE и BDBDBD, где EEE и DDD — точки, лежащие на A′B′A'B'A′B′ и B′C′B'C'B′C′ соответственно, и A′E:EB′=B′D:DC′=1:2A'E:EB'=B'D:DC'=1:2A′E:EB′=B′D:DC′=1:2.
Ответ:6

Решение

Изображение 1 Пусть сторона основания равна a,a,a, высота h,h,h, радиус сферы r=13.r=\sqrt{13}.r=13​. Сфера касается оснований ⇒h=2r;\Rightarrow h=2r;⇒h=2r; касается боковых граней ⇒a23=r,\Rightarrow \dfrac{a}{2\sqrt3}=r,⇒23​a​=r, т.е. a=23r,h=2r.a=2\sqrt3 r, h=2r.a=23​r,h=2r. Координаты: A(0,0,0),B(a,0,0),C(a2,a32,0),A′(0,0,h),B′(a,0,h),C′(a2,a32,h).A(0,0,0), B(a,0,0), C \left(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}{2},0\right), A'(0,0,h), B'(a,0,h), C' \left(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}{2},h\right).A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a​,2a3​​,0),A′(0,0,h),B′(a,0,h),C′(2a​,2a3​​,h). E=A′+13(B′−A′)=(a3,0,h),D=B′+13(C′−B′)=(5a6,a36,h).E=A'+\tfrac13(B'-A')=\left(\tfrac a3,0,h\right),\quad D=B'+\tfrac13(C'-B')=\left(\tfrac{5a}{6},\tfrac{a\sqrt3}{6},h\right).E=A′+31​(B′−A′)=(3a​,0,h),D=B′+31​(C′−B′)=(65a​,6a3​​,h). u⃗=E−A=(a3,0,h),v⃗=D−B=(−a6,a36,0),w⃗=B−A=(a,0,0).\vec u=E-A=\left(\tfrac a3,0,h\right),\quad \vec v=D-B=\left(-\tfrac a6,\tfrac{a\sqrt3}{6},0\right),\quad \vec w=B-A=(a,0,0).u=E−A=(3a​,0,h),v=D−B=(−6a​,6a3​​,0),w=B−A=(a,0,0). ρ(AE,BD)=∣w⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∣u⃗×v⃗∣=6r13=61313 r.\rho(AE,BD)=\dfrac{|\vec w\cdot(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}=\dfrac{6r}{\sqrt{13}}=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}\,r.ρ(AE,BD)=∣u×v∣∣w⋅(u×v)∣​=13​6r​=13613​​r. При r=13:ρ=613⋅13=6.r=\sqrt{13}:\quad \rho=\dfrac{6}{\sqrt{13}}\cdot\sqrt{13}=6.r=13​:ρ=13​6​⋅13​=6.
Задача 8МГУ
Найдите все пары (α,β)(\alpha,\beta)(α,β), при которых достигается минимум выражения 4−3cos⁡α2−cos⁡2α+2−cos⁡2α2β4+β2+1+2β4+β2+1∣β∣+1+∣β∣+14−3cos⁡α.\dfrac{4-3\cos\alpha}{2-\cos 2\alpha}+\dfrac{2-\cos 2\alpha}{2\beta^{4}+\beta^{2}+1}+\dfrac{2\beta^{4}+\beta^{2}+1}{|\beta|+1}+\dfrac{|\beta|+1}{4-3\cos\alpha}.2−cos2α4−3cosα​+2β4+β2+12−cos2α​+∣β∣+12β4+β2+1​+4−3cosα∣β∣+1​.
Ответ:α=2πn (n∈Z),β=0\alpha=2\pi n\ (n\in\mathbb{Z}),\quad \beta=0α=2πn (n∈Z),β=0

Решение

Обозначим положительные величины a=4−3cos⁡α,b=2−cos⁡2α,c=2β4+β2+1,d=∣β∣+1.a=4-3\cos\alpha,\quad b=2-\cos 2\alpha,\quad c=2\beta^{4}+\beta^{2}+1,\quad d=|\beta|+1.a=4−3cosα,b=2−cos2α,c=2β4+β2+1,d=∣β∣+1. Тогда выражение равно S=ab+bc+cd+da.S=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}.S=ba​+cb​+dc​+ad​. По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом S⩾4ab⋅bc⋅cd⋅da4=4,S\geqslant 4\sqrt[4]{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{d}{a}}=4,S⩾44ba​⋅cb​⋅dc​⋅ad​​=4, равенство при a=b=c=d.a=b=c=d.a=b=c=d. Из cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1cos2α=2cos2α−1 условие a=ba=ba=b даёт 4−3cos⁡α=3−2cos⁡2α,4-3\cos\alpha=3-2\cos^{2}\alpha,4−3cosα=3−2cos2α, 2cos⁡2α−3cos⁡α+1=0 ⟹ cos⁡α=1 или cos⁡α=12.2\cos^{2}\alpha-3\cos\alpha+1=0\ \Longrightarrow\ \cos\alpha=1\ \text{или}\ \cos\alpha=\tfrac12.2cos2α−3cosα+1=0 ⟹ cosα=1 или cosα=21​. Далее c=2β4+β2+1⩾1,d=∣β∣+1⩾1,c=d⟺2β4+β2=∣β∣,c=2\beta^{4}+\beta^{2}+1\geqslant 1, d=|\beta|+1\geqslant 1, c=d \Longleftrightarrow 2\beta^{4}+\beta^{2}=|\beta|,c=2β4+β2+1⩾1,d=∣β∣+1⩾1,c=d⟺2β4+β2=∣β∣, что при β∈R\beta\in\mathbb{R}β∈R выполнено лишь при β=0;\beta=0;β=0; тогда c=d=1.c=d=1.c=d=1. Тогда b=1,2−cos⁡2α=1,cos⁡2α=1;b=1, 2-\cos 2\alpha=1, \cos 2\alpha=1;b=1,2−cos2α=1,cos2α=1; совместно с a=1a=1a=1 имеем cos⁡α=1.\cos\alpha=1.cosα=1. Итак a=b=c=d=1,Smin⁡=4a=b=c=d=1, S_{\min}=4a=b=c=d=1,Smin​=4 при cos⁡α=1,β=0,\cos\alpha=1, \beta=0,cosα=1,β=0, α=2πn (n∈Z),β=0.\alpha=2\pi n\ (n\in\mathbb{Z}),\quad \beta=0.α=2πn (n∈Z),β=0.