ДВИ МГУ 2015, Поток 3 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите

f(5)

, если

f(x)=\dfrac{x}{3}+\dfrac{4}{x}-\dfrac{7}{15}

.

Задача 2МГУ

Найдите сумму квадратов корней уравнения

x^2-8x-3=0

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\cos x-\sqrt2\cos 2x+\sin x\leqslant 0.

Решение

Преобразуем, используя

\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x):

(\cos x+\sin x)-\sqrt2\,(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)\leqslant 0,

(\cos x+\sin x)\bigl(1-\sqrt2\,(\cos x-\sin x)\bigr)\leqslant 0.

Применим

\cos x+\sin x=\sqrt2\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right),\quad \cos x-\sin x=\sqrt2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right):

\sqrt2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\bigl(1-2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)\leqslant 0,

\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\bigl(1-2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\bigr)\leqslant 0.

Первый множитель

\cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow x\in\left[-\tfrac{\pi}{4}+2\pi n, \tfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right].

Второй множитель

1-2\cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow \cos \left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\leqslant\tfrac12 \Leftrightarrow x\in\left[\tfrac{\pi}{12}+2\pi n, \tfrac{17\pi}{12}+2\pi n\right].

Произведение неположительно, когда множители разных знаков; объединяя соответствующие пересечения, получаем ответ.

x\in\left[-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{12}+2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{17\pi}{12}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\log_x |3x^2-4| = 4\log_{|3x^2-4|} x

.

Задача 5МГУ

Окружность касается середины стороны

BC

треугольника

ABC

и пересекает сторону

AB

в точках

D

и

E

, так что

AD:DE:EB=1:2:1

. Чему может равняться радиус окружности, если

\angle BAC=30^\circ

и

AC=\dfrac{2}{3}

?

Задача 6МГУ

Велосипедист Василий выехал из пункта

\text{А}

в пункт

\text{Б}

. Проехав четверть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадёжно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошёл пешком обратно в пункт

\text{А}

за новым велосипедом. В момент поломки из пункта

\text{А}

выехал мотоциклист Григорий и, проехав

4

км, встретил Василия. Найдите расстояние между пунктами

\text{А}

и

\text{Б}

, если известно, что Василий добрался до пункта

\text{А}

тогда же, когда Григорий до пункта

\text{Б}

. Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.

Задача 7МГУ

В правильную треугольную призму с основаниями

ABC

,

A'B'C'

и рёбрами

AA'

,

BB'

,

CC'

вписана сфера радиуса

\sqrt{13}

. Найдите расстояние между прямыми

AE

и

BD

, где

E

и

D

— точки, лежащие на

A'B'

и

B'C'

соответственно, и

A'E:EB'=B'D:DC'=1:2

.

Задача 8МГУ

Найдите все пары

(\alpha,\beta)

, при которых достигается минимум выражения

\dfrac{4-3\cos\alpha}{2-\cos 2\alpha}+\dfrac{2-\cos 2\alpha}{2\beta^{4}+\beta^{2}+1}+\dfrac{2\beta^{4}+\beta^{2}+1}{|\beta|+1}+\dfrac{|\beta|+1}{4-3\cos\alpha}.