Запишите одной обыкновенной дробью число 18(712+56)8(74−52).
Ответ:512
Решение
188=188=32; далее 74−52=356 и 712+56=35102. Значит число равно 32⋅102/356/35=32⋅1026=512.
Задача 2МГУ
Решите систему уравнений {x4x−y=0,y2+5y=24+xy.
Ответ:(0;−8),(524;524)
Решение
Область: x≥y. Первое уравнение даёт x=0 или x=y. Если x=0, то y2+5y−24=0,y=3 или y=−8; условие x≥y оставляет y=−8 — точка (0;−8). Если x=y, то y2+5y=24+y2⇒y=524 — точка (524;524).
Задача 3МГУ
Решите уравнение sin22x=sin2x.
Ответ:x=3πk,k∈Z
Решение
sin22x−sin2x=sin(2x+x)sin(2x−x)=sin3xsinx=0. Серия sinx=0 (x=πn) содержится в серии sin3x=0, поэтому ответ x=3πk,k∈Z.
Задача 4МГУ
В треугольнике ABC:AC=CB=25, точка M лежит на AC, точка N — на BC, точка H — на AB, причём AM=MC,BN=NC. Прямые AN и BM пересекаются в точке K,KH⊥AB,KH=5. Найдите длину AB.
Ответ:40
Решение
M и N — середины сторон, поэтому AN и BM — медианы, а K — их пересечение, т.е. центр тяжести. Расстояние от центра тяжести до стороны AB равно трети высоты из вершины C:KH=31hC, откуда hC=15. Высота CH равнобедренного треугольника делит AB пополам, поэтому (2AB)2=252−152=400,AB=40.
Задача 5МГУ
Решите неравенство (x2−5x+4)(x2−9x+20)⋅2x≥0.
Ответ:x∈[0;1]∪{4}∪[5;+∞)
Решение
Область x≥0, множитель 2x>0, поэтому неравенство равносильно (x−1)(x−4)2(x−5)≥0. Так как (x−4)2≥0, при x=4 знак задаёт (x−1)(x−5)≥0, т.е. x≤1 или x≥5; при x=4 левая часть равна нулю. С учётом x≥0:x∈[0;1]∪{4}∪[5;+∞).
Задача 6МГУ
Найдите все целые числа x,y,z такие, что 5x2+y2+3z2−2yz=30.
Ответ:(\pm1;\,\pm5;\,0)
Решение
y2−2yz+3z2=(y−z)2+2z2, поэтому 5x2+(y−z)2+2z2=30. Из 5x2≤30 следует x∈{0,±1,±2}. При x=0 (=30) и x=±2 (=10) целых решений нет; при x=±1:(y−z)2+2z2=25⇒z=0,y=±5. Ответ: x=±1,y=±5,z=0 (знаки независимы).
