Уравнения: а) Решите уравнение \[ 4^2x + 8(3 /2 + x) + 1... —...

а)
По основному тригонометрическому тождеству ($$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$) $$\sin^2x=1-\cos^2x,$$ и по формуле приведения $$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x$$ имеем:
\[ 4\left(1-\cos^2x\right)-8\cos x+1=0; \]
\[ 4-4\cos^2x-8\cos x+1=0; \]
\[ -4\cos^2x-8\cos x+5=0. \]
Сделаем замену $t=\cos x:$
\[ \left.\quad\quad\quad\quad\;-4t^2-8t+5=0;\quad\right|\cdot(-1) \]
\[ 4t^2+8t-5=0. \]
Решим полученное квадратное уравнение. Его корнями будут (С помощью дискриминанта решим уравнение
\[ 4t^2+8t-5=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=8^2-4\cdot4\cdot(-5)=64+80=144=12^2. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=\dfrac{-8-12}{8}=-\dfrac52,\\[2mm] t_2=\dfrac{-8+12}{8}=\dfrac12. \end{array} \right. \])
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=-\dfrac52,\\[2mm] t_2=\dfrac12. \end{array} \right. \]
Сделаем обратную замену:
\[ \left[ \begin{array}{l} \cos x=-\dfrac52,\\[2mm] \cos x=\dfrac12. \end{array} \right. \]
Уравнение $\cos x=-\dfrac52$ не имеет решений, так как значения косинуса не меньше $-1.$ ($|\cos x|\leqslant 1,$ а $-\dfrac52<-1.$)

Уравнение $\cos x=\dfrac12$ даёт корни
\[ x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z}. \]

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right],$ с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.



На отрезок попали следующие корни:
\[ -\dfrac{7\pi}{3},\,-\dfrac{5\pi}{3}. \]

Ответ: а) $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z}.$ б) $-\dfrac{7\pi}{3},\,-\dfrac{5\pi}{3}.$