Уравнения: а) Решите уравнение 2 sin²(3π/2 + x) + cos(π -... — задача

а)
Воспользуемся формулами приведения ($$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha$$
$$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$$):
\[ 2\left(-\cos x\right)^2+\left(-\cos x\right)=0; \]
\[ 2\cos^2x-\cos x=0; \]
\[ \cos x\left(2\cos x-1\right)=0. \]
Решая простейшие тригонометрические уравнения, получаем:
\[ \left[ \begin{array}{l} \cos x=0,\\[2mm] \cos x=\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\\[2mm] x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array} \right. \]

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right],$ с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.



На отрезок попали следующие корни:
\[ -\dfrac{5\pi}{3},\ -\dfrac{3\pi}{2},\ -\dfrac{\pi}{2}. \]

Ответ: а) $\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$ б) $-\dfrac{5\pi}{3},\ -\dfrac{3\pi}{2},\ -\dfrac{\pi}{2}.$