Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромФИПИЕГЭ 2025 (досрок)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

x^{4}+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|

либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Решение

Сделаем замену

a - 3 = b

. Получаем уравнение:

x^4 + b^2 = |x + b| + |x - b|.

Заметим, что при замене

b

на

-b

уравнение останется тем же, поэтому нам достаточно рассматривать

b \geqslant 0

.

Функция

y = x^4 + b^2

задаёт параболу

4

степени с вершиной в точке

(0; b^2)

Рассмотрим функцию

y = |x + b| + |x - b|\;(*)

x \leqslant -b

y = -x - b - x + b \quad\Rightarrow\quad y = -2x.

-b < x < b

y = x + b - x + b \quad\Rightarrow\quad y = 2b.

x \geqslant b

y = x + b + x - b \quad\Rightarrow\quad y = 2x.

Изобразим график этой функции:

Выясним знаки выражения

b^2 - 2b

. Решим уравнение:

b^2 - 2b = 0;\\ b(b - 2) = 0;\\ b_1 = 0\quad\text{и}\quad b_2 = 2.

Получаем:

Рассмотрим несколько случаев:

I)

b = 0

x^4 = 2|x|;\\ |x|(|x|^3 - 2) = 0;\\ x_1 = 0\quad\text{и}\quad x_{2} = \pm\sqrt[3]{2}.

То есть уравнение имеет

3

корня.

II)

b \in (0;2)

. Вершина параболы лежит ниже постоянной части функции

(*)

. Заметим, что

16 + b^2 > 4

, поэтому исходное уравнение имеет решение на промежутке

(0; 2)

. В силу симметрии уравнение также имеет корень на промежутке

(-2; 0)

. То есть уравнение имеет

2

корня.

III)

b = 2

x^4 + 4 = |x - 2| + |x + 2|.

1) При

x \in (0;2)

x^4 + 4 = 4;\\ x^4 = 0;\\ x = 0.

2) При

x \geqslant 2

x^4 + 4 = 2x.

Заметим, что

x^4 = x\cdot x \cdot x \cdot x > 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot x = 8x > 2x.

То есть решений нет.

Таким образом, уравнение имеет ровно

1

корень.

IV)

b > 2

:

1) При

x \in (0;2)

x^4 + b^2 = 4;

x^4 = 4 - b^2 < 0 \text{ -- решений нет.}

2) При

x \geqslant 2

x^4 + b^2 = 2x.

Заметим, что

x^4 > 8x > 2x.

То есть решений нет.

Таким образом, уравнение не имеет корней.

Итого, исходное уравнение имеет не более одного корня при

b \in (-\infty; -2]\cup [2; +\infty)\\ a - 3 \in (-\infty; -2]\cup [2; +\infty)\\ a \in (-\infty; 1]\cup [5; +\infty).

Ответ:

(-\infty; 1]\cup [5; +\infty)

Похожие задачи