Параметры: Найдите все значения a, при каждом из которых... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{7x-4} \cdot \ln \left(x^2-8 x+17-a^2\right)=0

имеет ровно один корень на отрезке

[0 ; 4]

Решение

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} \sqrt{7x - 4} = 0, \\[1mm] x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0; \end{cases} \quad\quad\quad (1) \\ &\begin{cases} \ln \left( x^2 - 8x + 17 - a^2 \right) = 0, \\[1mm] 7x - 4 \geqslant 0. \end{cases} \quad (2) \end{aligned} \right.

(1) Из уравнения

\sqrt{7x - 4} = 0

получаем

x = \dfrac{4}{7}

.
Подставляем в неравенство:

\left( \frac{4}{7} \right)^2 - 8 \cdot \frac{4}{7} + 17 - a^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{16}{49} - \frac{32}{7} + 17 - a^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{625}{49} - a^2 > 0 \quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad a^2 < \frac{625}{49} \quad\Rightarrow\quad a \in \left( -\frac{25}{7}; \frac{25}{7} \right).

Таким образом, первая система даёт корень

x = \dfrac{4}{7}

при

a \in \left( -\dfrac{25}{7}; \dfrac{25}{7} \right)

. Этот корень всегда лежит на отрезке

[0;1]

.

(2) Решим уравнение:

\ln \left( x^2 - 8x + 17 - a^2 \right) = 0;\\ x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1;\\ x^2 - 8x + 16 - a^2 = 0;\\ (x - 4)^2 - a^2 = 0;\\ (x - 4 - a)(x - 4 + a) = 0.

Получаем два корня:

x = 4 + a \quad \text{и} \quad x = 4 - a.

Проанализируем полученные корни:

1) Корень

x = 4 + a

:

Выясним, при каких

a

данный корень удовлетворяет условию

7x - 4 \geqslant 0

7(4 + a) - 4 \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad a\geqslant -\dfrac{24}{7}.

Выясним при каких

a

данный корень принадлежит отрезку

[0;4]

0 \leqslant 4 + a \leqslant 4\quad\Rightarrow\quad -4 \leqslant a \leqslant 0.

Одновременно оба условия выполняются при

a \in \left[ -\dfrac{24}{7}; 0 \right]

.
2) Корень

x = 4 - a

:

Выясним, при каких

a

данный корень удовлетворяет условию

7x - 4 \geqslant 0

7(1 - a) - 4 \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad a\leqslant \dfrac{24}{7}.

Выясним, при каких

a

данный корень принадлежит отрезку

[0;4]

0 \leqslant 4 - a \leqslant 4\quad\Rightarrow\quad 0 \leqslant a \leqslant 4.

Одновременно оба условия выполняются при

a \in \left[0; \dfrac{24}{7}\right]

.

Выясним, когда полученные корни совпадают:

1) Корень

x = 4 + a

совпадает с

x = \dfrac{4}{7}

при

a = -\dfrac{24}{7}

. При таком

a

значение

x = 4 - a

не является корнем, поэтому мы имеем ровно один корень на отрезке

[0; 4]

.
2) Корень

x = 4 - a

совпадает с

x = \dfrac{4}{7}

при

a = \dfrac{24}{7}

. При таком

a

значение

x = 4 + a

не является корнем, поэтому мы имеем ровно один корень на отрезке

[0; 4]

.
3) Корни

x = 4 + a

x = 4 - a

совпадают при

a = 0

, значит, они равны

x = 0

. При таком

a

значение

x = \dfrac{4}{7}

также является корнем, значит,

a = 0

нам не подходит.

Рассмотрим ситуацию, когда корни не совпадают. Один корень на отрезке

[0; 4]

мы имеем, когда один из корней существует и лежит на отрезке

[0; 4]

, а каждый из двух других корней либо не существует, либо не принадлежит отрезку

[0; 4]

. Получаем:

Рисунок 0 к решению задачи №19: Параметр с логарифмами

a \in \left( -\frac{25}{7}; -\frac{24}{7} \right] \cup \left[ \frac{24}{7}; \frac{25}{7} \right).

Ответ:

\left( -\dfrac{25}{7}; -\dfrac{24}{7} \right] \cup \left[ \dfrac{24}{7}; \dfrac{25}{7} \right)

Параметры: Найдите все значения a, при каждом из которых... — задача

Похожие задачи