Электрическое поле: Частица, имеющая заряд q=5 10^-9 Кл, влетает...

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Частица, имеющая заряд $q=5\cdot10^{-9}$ Кл, влетает в электрическое поле конденсатора параллельно его пластинам в точке, находящейся посередине между пластинами (см. рисунок).

Минимальная скорость, с которой частица должна влететь в конденсатор, чтобы затем вылететь из него, $v=250$ м/с. Длина пластин конденсатора $l=5$ см;
расстояние между пластинами $d=1$ см; напряжённость электрического поля конденсатора $E=5000$ В/м. Чему равна масса частицы? Поле внутри конденсатора считать однородным, силой тяжести пренебречь. Считать, что конденсатор находится в вакууме.

Решение

1. Направим ось

x

горизонтально вдоль начальной скорости частицы

\vec{v}

, а ось

y

— вертикально вниз. Начало координат совмести с начальным положением частицы в конденсаторе.

Рисунок к заданию типа 25, номер 5

2. На положительно заряженную частицу действует только электрическая сила со стороны однородного поля конденсатора:

\vec F = q\vec E.

Напряжённость

E

направлена вертикально вниз — от положительной пластины к отрицательной, поэтому для

q>0

сила

\vec F

так же направлена вниз. Силой тяжести при этом пренебрегаем.

3. По второму закону Ньютона ускорение частицы равно:

\vec a = \frac{\vec F}{m} = \frac{q}{m}\vec E.

Следовательно, ускорение

\vec a

направлено вертикально вниз. Поэтому проекция ускорения на ось

x

равна нулю (

a_x=0

), движение вдоль оси

x

равномерное со скоростью

v

. Проекция ускорения на ось

Oy

a_y=a=\frac{q}{m}E,

следовательно, движение вдоль

Oy

равноускоренное. Частица влетает в конденсатор горизонтально, поэтому проекция начальной скорости на вертикальную ось равна нулю:

v_{0y}=0

.

4. При минимальная скорости, с которой частица влетает в конденсатор, за время пролёта

\tau

частица проходит по горизонтали расстояние

l

l = v \cdot \tau.

Откуда время полета

\tau=\frac{l}{v}.

Запишем закон движение вдоль оси

Oy

y(t) = y_0 + v_{0y}t+\dfrac{a_y t^2}{2}.

В выбранной системе координат:

y_0=0,

v_{0y}=0

a_y=\frac{q}{m}E

. Таким образом, уравнение координаты:

y=\frac{qE t^2}{2m}.

5. Чтобы частица вылетела из конденсатора, ее смещение

y

за время пролёта

t

не должно превышать расстояния от центральной линии до края нижней пластины, то есть

y \le \frac{d}{2}.

Минимальной начальной скорости

v

соответствует предельный случай, когда частица пролетает у края пластины. Таким образом, за время

\tau

частица пролетит по вертикали

\frac{d}{2}=\frac{qE \tau^2}{2m}.

6. Подставим выражения для времени полета:

\frac{d}{2} = \frac{qE}{2m} \cdot \left(\frac{l}{v}\right)^2

и выразим массу

m

m = \frac{q E l^2}{d v^2}.

Подставим числовые значения:

\begin{gathered}m \\= \frac{5 \cdot 10^{-9}\text{ Кл} \cdot 5000\text{ В/м} \cdot (0{,}05\text{ м})^2}{0{,}01\text{ м} \cdot (250\text{ м/с})^2} \\= 10^{-10}\text{ кг}\end{gathered}

Электрическое поле: Частица, имеющая заряд q=5 10^-9 Кл, влетает...

Похожие задачи