Действия с цифрами и степенями — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваФИПИ

Найдите наименьшее пятизначное число, кратное

55

, произведение цифр которого больше

50

, но меньше

75

Ответ:

Решение

Число кратно

55

, значит оно должно одновременно делиться на

5

и на

11

.

Так как произведение цифр больше

50

, ни одна цифра не может быть равна

0

. Поэтому по признаку делимости на

5

последняя цифра должна быть равна

5

.

Ищем наименьшее пятизначное число, поэтому первую цифру берём наименьшую возможную:

1.

Вторую цифру также берём равной

1

. Получаем число вида

11ab5.

Произведение его цифр равно

1\cdot1\cdot a\cdot b\cdot5=5ab.

По условию

50<5ab<75.

Разделим на

5

10<ab<15.

Чтобы число было наименьшим, цифру

a

берём как можно меньшей. При

a=1

получить произведение больше

10

невозможно, так как

b\leq9

. Поэтому

a=2.

Тогда

10<2b<15,

откуда подходят только

b=6 \quad \text{или} \quad b=7.

Сначала проверим меньшее число

11265

по признаку делимости на

11

1-1+2-6+5=1.

Число

1

не делится на

11

, поэтому

11265

не подходит.

Проверим следующее число:

11275.

Для него

1-1+2-7+5=0,

значит,

11275

делится на

11

.

Кроме того,

1\cdot1\cdot2\cdot7\cdot5=70,

50<70<75.

Следовательно, наименьшее подходящее число:

11275.

Ответ:

11275

Похожие задачи