Значение производной — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Производная и первообразная

Профиматика

На рисунке изображён график функции

y=f\left(x\right)

. На оси абсцисс отмечены точки

-2

-1

1

2

. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

Решение

1. Геометрический смысл производной

Производная функции

f(x)

в точке

x_0

равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке:

f'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha,

где

\alpha

— угол наклона касательной к положительному направлению оси

Ox

.

Если касательная направлена вверх, то

f'(x_0) > 0

. Если касательная направлена вниз, то

f'(x_0) < 0

. Чем круче касательная идёт вверх, тем больше (сильнее положительна) производная.

2. Анализ поведения функции в отмеченных точках

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Точка} & \text{Поведение функции} & \text{Знак } f'(x) & \text{Крутизна наклона} \\\hlinex = -2 & \text{возрастает} & f'(-2) > 0 & \text{очень круто} \\x = -1 & \text{убывает} & f'(-1) < 0 & \text{—} \\x = 1 & \text{возрастает} & f'(1) > 0 & \text{умеренная} \\x = 2 & \text{убывает} & f'(2) < 0 & \text{—} \\\hline\end{array}

3. Сравнение значений производной

Отрицательные значения производной заведомо меньше любых положительных:

f'(-1) < 0, \qquad f'(2) < 0.

Следовательно, наибольшее значение нужно искать среди положительных:

f'(-2) > 0, \qquad f'(1) > 0.

В точке

x = -2

график поднимается круче, чем в точке

x = 1

. Это означает, что модуль углового коэффициента в точке

x = -2

больше:

|f'(-2)| > |f'(1)|.

Так как оба числа положительны, то выполняется неравенство:

f'(-2) > f'(1) > 0.

Таким образом, значение производной в точке

x = -2

является наибольшим среди всех отмеченных точек.

4. Вывод

\boxed{x = -2}

Похожие задачи