Электрическое поле: Маленький шарик массой m=1 г с зарядом q>0,......

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Маленький шарик массой $m=1$ г с зарядом $q>0$ , подвешенный к потолку на лёгкой шёлковой нитке длиной $l=0,8$ м, находится в горизонтальном однородном электростатическом поле $\vec{E}$ с модулем напряжённости поля $E=6\cdot10^5$ В/м (см. рисунок). Шарик отпускают с нулевой начальной скоростью из положения, в котором нить вертикальна. В момент, когда нить образует с вертикалью угол $\alpha=30^\circ$ , модуль скорости шарика $v~=~0,8$ м/с. Чему равен заряд шарика $q$ ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ дайте в нКл.

Решение

1. На шарик при его движении действуют три силы: 1) сила тяжести

m\vec{g}

(вертикально вниз);
2) электрическая сила

\vec{F}_{\text{эл}} = q\vec{E}

со стороны электростатического поля (горизонтально влево, так как

q > 0

и вектор

\vec{E}

направлен влево); 3) сила натяжения нити

\vec{T}

(направлена вдоль нити к точке подвеса).

2. По теореме об изменении кинетической энергии:

\Delta E_{\text{к}} = A_{\text{всех сил}},

\frac{m v^2}{2} - 0 = A_{mg} + A_{F_{\text{эл}}} + A_T.

3. Найдём работу каждой из сил при отклонении нити на угол

\alpha

:

Сила натяжения нити

\vec{T}

в каждый момент времени перпендикулярна перемещению шарика (направлена по радиусу окружности), поэтому её работа равна нулю:

A_T = 0.

При отклонении нити на угол

\alpha

шарик поднимается на высоту

h = l(1 - \cos\alpha)

. Сила тяжести совершает отрицательную работу:

\begin{gathered}A_{mg} = -m g h \\= -m g l (1 - \cos\alpha).\end{gathered}

По оси

x

шарик перемещается горизонтально влево на расстояние

x = l \sin\alpha

. Поскольку постоянная сила

F_{\text{эл}} = qE

направлена в сторону перемещения, её работа равна:

A_{F_{\text{эл}}} = F_{\text{эл}} \cdot x = q E l \sin\alpha.

4. Подставим выражения для работ в уравнение теоремы об изменении кинетической энергии:

\begin{gathered}\frac{m v^2}{2} \\= q E l \sin\alpha - m g l (1 - \cos\alpha).\end{gathered}

5. Выразим искомый заряд

q

q = \frac{m \left(v^2 + 2 g l (1 - \cos\alpha)\right)}{2 E l \sin\alpha}.

6. Подставим численные значения:

\begin{gathered}q \\= \frac{10^{-3} \cdot \left(0{,}8^2 + 2 \cdot 10 \cdot 0{,}8 \cdot (1 - 0{,}866)\right)}{2 \cdot 6 \cdot 10^5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}5}\\= 5{,}8 \cdot 10^{-9}\text{ Кл} = 5{,}8\text{ нКл}.\end{gathered}

Электрическое поле: Маленький шарик массой m=1 г с зарядом q>0,......

Похожие задачи