Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026Шестаков

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых неравенство

||x - 2a| + 3a| + ||3x + a| - 4a| \le 5x + 24

выполняется для всех значений

x \in [0; 6]

Решение

Пусть

f(x)=5x + 24-||x - 2a| + 3a| - ||3x + a| - 4a||

.
Эта функция является кусочно-линейной, при этом угловой коэффициент

k

каждого линейного участка удовлетворяет условию

k\ge 5-1-3=1

. Следовательно,

f(x)

возрастающая функция. Значит, для того, чтобы неравенство

f(x)\ge0

выполнялось для всех

x\in [0;6]

, необходимо и достаточно выполнения условия

f(0)\ge0

f(0)=5\cdot 0 + 24-||0 - 2a| + 3a| - ||3\cdot0 + a| - 4a||=24-|| 2a| + 3a| - ||a| - 4a||.

При

a\ge0

f(0)=24-|2a + 3a| - |a - 4a|=24-|5a| - |3a|=24-5a-3a=24-8a.

Составим и решим неравенство:

24-8a\ge0, \quad a \le 3.

Учитывая, что

a\ge0

, получаем,

0\le a \le 3

.
При

a<0

f(0)=24-|- 2a + 3a| - |-a - 4a|=24-|a| - |5a|=24+a+5a=24+6a.

Составим и решим неравенство:

24+6a\ge0, \quad a \ge -4.

Учитывая, что

a<0

, получаем,

-4\le a < 0

.
Объединяя все случаи, получим

a\in [-4;3]

.
Ответ:

a\in [-4;3]

Похожие задачи