Параметры: Найдите все значения параметра a, при которых... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026ЕГЭ 2014 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при которых уравнение

\dfrac{5a}{a-3} \cdot 7^{|x|} = 49^{|x|} + \dfrac{6a+7}{a-3}

имеет ровно два различных корня.

Решение

Пусть

7^{|x|}=t

, тогда уравнение примет вид:

t^2-\dfrac{5a}{a-3}t+\dfrac{6a+7}{a-3}=0.~~~ (1)

Исследуем замену и найдём, сколько решений имеет уравнение

7^{|x|}=b

в зависимости от значения

b

:

1)

b>1

-- два решения

x=\pm \log_7b

;
2)

b=1

-- одно решение

x=0

;
3)

b<1

-- решений нет.

Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, нам нужно, чтобы ровно один корень уравнения (1) был больше 1, а другой корень либо был меньше 1, либо не существовал.
Пусть

f(t)=t^2-\dfrac{5a}{a-3}t+\dfrac{6a+7}{a-3}

. Графиком этой функции является парабола с ветвями вверх. Нам нужно, чтобы парабола либо пересекала ось абсцисс по разные стороны от

t=1

, либо касалась оси правее

t=1

.

Рассмотрим случаи, которые нам подходят:

1) Уравнение

f(t)=0

имеет всего один корень, и он больше единицы.

Interactive background for parameters-2026:16.1

Этот случай задаётся системой:

\begin{cases} D=0, \\ t_{\text{В}}>1;\end{cases} \quad\begin{cases} \dfrac{25a^2}{(a-3)^2}-4\cdot \dfrac{6a+7}{a-3}=0, \\ \dfrac{5a}{2(a-3)}>1;\end{cases} \quad\begin{cases} \dfrac{25a^2-4(6a+7)(a-3)}{(a-3)^2}=0, \\ \dfrac{5a-2a+6}{a-3}>0;\end{cases}

\begin{cases} \dfrac{25a^2-24a^2+72a-28a+84}{(a-3)^2}=0, \\[2ex] \dfrac{3a+6}{a-3}>0;\end{cases} \quad \begin{cases} \dfrac{a^2+44a+84}{(a-3)^2}=0, \\[2ex] \dfrac{a+2}{a-3}>0;\end{cases} \quad \begin{cases} \left [ \begin{gathered} a=-42, \hfill \\ a=-2, \hfill \end{gathered}\right. \\[2ex] \dfrac{a+2}{a-3}>0.\end{cases}

Решим неравенство

\dfrac{a+2}{a-3}>0

методом интервалов:

Рисунок 2 к решению задачи №19: Параметр с модулем

a\in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty).

Тогда решением системы будет

a=-42

.
2) Корни уравнения

f(t)=0

расположены по разные стороны от

t=1

Рисунок 3 к решению задачи №19: Параметр с модулем

Этот случай задаётся условием:

f(1)<0, \quad 1-\dfrac{5a}{a-3}+\dfrac{6a+7}{a-3}<0, \quad \dfrac{a-3-5a+6a+7}{a-3}<0, \quad \dfrac{2a+4}{a-3}<0;

Рисунок 4 к решению задачи №19: Параметр с модулем

a\in (-2;3).

Объединяя случаи, получаем, что

a\in \{-42\} \cup (-2;3)

.
Ответ:

a\in \{-42\} \cup (-2;3)

Static parameter plot for parameters-2026:16.1

Параметры: Найдите все значения параметра a, при которых... — задача

Похожие задачи