Навык

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

В статье мы обсудили общую идею метода рационализации и его применение для показательных неравенств.

В этой статье мы обсудим решение логарифмических неравенств, для которых метод тоже очень эффективен. Однако, в отличие от показательной функции $y=a^x$ , которая определена при любом действительном $x$ , логарифмическая функция $y=\log_a{f(x)}$ накладывает дополнительные ограничения на переменные. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$ . Игнорировать эти ограничения категорически нельзя!

Напоминание: монотонность логарифмической функции и её графики

Прежде чем переходить к заменам, вспомним ключевое свойство, на котором всё держится — монотонность.

Функция называется возрастающей на промежутке $X$ (входящем в область определения функции), если для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$ , выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ .
Функция называется убывающей на промежутке $X$ (входящем в область определения функции), если для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$ , выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$ .

Для логарифмической функции $y = \log_a x$ (где область определения $x > 0$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ ) это работает так:

При $\boldsymbol{a > 1}$ функция возрастает.
При $\boldsymbol{0 < a < 1}$ функция убывает.

logarifm-vozrastaet — График $y = \log_a x$ при $a>1$

logarifm-ubyvaet — График $y = \log_a x$ при $0<a<1$

Именно это свойство позволяет нам переходить от сравнения значений логарифмов к сравнению их аргументов, но только в пределах области определения!

Ключевая замена для логарифмических выражений

Рассмотрим выражение $\log_a{b} - \log_a{c}$ , где $a > 0$ , $a \neq 1$ и $b, c > 0$ . Мы хотим заменить его на что-то более простое, но "равнознаковое".

Выражения $\log_a{b} - \log_a{c}$ и $(a - 1)(b - c)$ "равнознаковы".

Почему это так? Всё следует из монотонности. Множитель $(a - 1)$ работает как "переключатель":

Если $\boldsymbol{a > 1}$ , функция $y = \log_a{x}$ возрастает. Большему аргументу соответствует большее значение. Знак разности $\log_a{b} - \log_a{c}$ такой же, как у $\boldsymbol{b - c}$ . Множитель $(a-1)$ здесь положительный и ничего не ломает.
Если $\boldsymbol{0 < a < 1}$ , функция $y = \log_a{x}$ убывает. Большему аргументу соответствует меньшее значение, знак меняется на противоположный! Но множитель $(a-1)$ становится отрицательным и снова "переворачивает" знак обратно.

Все случаи замен для Вашего удобства собраны в одну таблицу-шпаргалку.

Важные ограничения метода

Главное отличие от показательных неравенств:
В показательных неравенствах выражение $a^x$ определено для любого действительного $x$ . Ограничений на саму переменную под степенью нет.
В логарифмических же неравенствах каждый логарифм $\log_a{f(x)}$ требует выполнения системы ограничений:

\begin{cases} f(x) > 0 & \text{(аргумент логарифма строго положителен)}, \\ a > 0 & \text{(основание логарифма положительно)}, \\ a \neq 1 & \text{(основание логарифма не равно единице)}. \end{cases}

Метод рационализации заменяет множитель на равнознаковый, но он не отменяет ограничения на переменную. Если вы получите ответ, не удовлетворяющий этим ограничениям, то это ошибка!

Почему метод нужно применять с осторожностью?
Рассмотрим неравенство $\log_2 x - 3 > 1$ . Если мы попытаемся применить метод рационализации к выражению $\log_2 x - 3 = \log_2 x - \log_2 8$ , заменив его на "равнознаковое" $x - 8$ , то получим:

x - 8 > 1 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 9.

Но это неверный ответ! Преобразование некорректно, так как мы сравниваем не с нулём.

Правильное решение: сначала перенесём всё в одну часть: $\log_2 x - 4 > 0 \implies \log_2 x - \log_2 16 > 0$ . Ограничения на переменную: $x > 0$ . Теперь применяем метод: $x - 16 > 0 \implies x > 16$ . Пересечение с полученными ограничениями даёт $x > 16$ .

Вывод: "Равнознаковость" гарантирует совпадение знака относительно нуля, но не сохраняет числовые значения. Поэтому метод работает только при сравнении с нулём. Любое логарифмическое неравенство можно свести к сравнению с нулём, просто перенеся всё в одну часть.

Разбор примеров

Пример 1. Решите неравенство $\log_2 x - \log_2 3 > 0$ .

Пояснение. Выражение имеет вид $\log_a{b} - \log_a{c}$ , где $a = 2$ , $b = x$ , $c = 3$ . Так как основание $a = 2 > 1$ , выражение "равнознаково" разности аргументов $x - 3$ .

Решение.

Ограничения на переменную: $x > 0$ .

\log_2 x - \log_2 3 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x - 3 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 3.

С учётом ограничений на переменную получаем $x > 3$ .

Ответ: $(3; +\infty)$ .

Пример 2. Решите неравенство $\log_{1/2} x - \log_{1/2} 5 < 0$ .

Пояснение. Выражение имеет вид $\log_a{b} - \log_a{c}$ , где $a = \dfrac{1}{2}$ , $b = x$ , $c = 5$ . Так как основание $0 < a < 1$ , выражение "равнознаково" разности $c - b$ , то есть $5 - x$ .

Решение.

Ограничения на переменную: $x > 0$ .

\log_{1/2} x - \log_{1/2} 5 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 5 - x < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 5.

С учётом ограничений на переменную получаем $x > 5$ .

Ответ: $(5; +\infty)$ .

Пример 3. Решите неравенство $\log_3 (2x-1) - \log_3 (x+2) \geqslant 0$ .

Пояснение. Выражение имеет вид $\log_a{b} - \log_a{c}$ , где $a = 3 > 1$ , $b = 2x - 1$ , $c = x + 2$ . Так как $a > 1$ , выражение "равнознаково" разности аргументов: $(2x - 1) - (x + 2) = x - 3$ .

Решение.

Ограничения на переменную: $\begin{cases} 2x - 1 > 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies x > \dfrac{1}{2}$ .

\log_3 (2x-1) - \log_3 (x+2) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (2x - 1) - (x + 2) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x - 3 \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geqslant 3.

С учётом ограничений на переменную получаем $x \geqslant 3$ .

Ответ: $[3; +\infty)$ .

Пример 4. Решите неравенство $\log_4 x - \dfrac{1}{2} \leqslant 0$ .

Пояснение. Заметим, что $\dfrac{1}{2} = \log_4 2$ . Перепишем неравенство как $\log_4 x - \log_4 2 \leqslant 0$ . Здесь $a = 4 > 1$ , значит, выражение "равнознаково" разности $x - 2$ .

Решение.

Ограничения на переменную: $x > 0$ .

\log_4 x - \log_4 2 \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x - 2 \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \leqslant 2.

С учётом ограничений на переменную получаем $0 < x \leqslant 2$ .

Ответ: $(0; 2]$ .

Пример 5. Решите неравенство $\log_5 x - 1 > 0$ .

Пояснение. Заметим, что $1 = \log_5 5$ . Перепишем неравенство как $\log_5 x - \log_5 5 > 0$ . Здесь $a = 5 > 1$ , значит, выражение "равнознаково" разности $x - 5$ .

Решение.

Ограничения на переменную: $x > 0$ .

\log_5 x - \log_5 5 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x - 5 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 5.

С учётом ограничений на переменную получаем $x > 5$ .

Ответ: $(5; +\infty)$ .

Пример 6. Решите неравенство $\log_{1/3} x + 1 \leqslant 0$ .

Пояснение. Заметим, что $-1 = \log_{1/3} 3$ . Перепишем неравенство как $\log_{1/3} x - \log_{1/3} 3 \leqslant 0$ . Здесь $0 < a < 1$ , значит, выражение "равнознаково" разности $3 - x$ .

Решение.

Ограничения на переменную: $x > 0$ .

\log_{1/3} x - \log_{1/3} 3 \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 3 - x \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geqslant 3.

С учётом ограничений на переменную получаем $x \geqslant 3$ .

Ответ: $[3; +\infty)$ .

Пример 7. Решите неравенство $\left(\log_2 x - 2\right)\left(\log_{1/4} x\right) \geqslant 0$ .

Пояснение. Неравенство представляет собой произведение двух скобок. Применим метод к каждой скобке отдельно:

Первая скобка: $\log_2 x - 2 = \log_2 x - \log_2 4$ . Здесь $a = 2 > 1$ , замена на $x - 4$ .
Вторая скобка: $\log_{1/4} x = \log_{1/4} x - \log_{1/4} 1$ . Здесь $a = \dfrac{1}{4} < 1$ , замена на $1 - x$ .

Решение.

Ограничения на переменную: $x > 0$ .

\begin{aligned} &\left(\log_2 x - 2\right)\left(\log_{1/4} x\right) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x - 4)(1 - x) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \quad &(x - 4)(x - 1) \leqslant 0. \end{aligned}

Решая квадратное неравенство методом интервалов, получаем $x \in [1; 4]$ . С учётом ограничений на переменную получаем $x \in [1; 4]$ .

Ответ: $[1; 4]$ .

Пример 8. Решите неравенство

\frac{\left(\log_2 x - 1\right)\left(\log_3 x - 2\right)}{\left(\log_{1/2} x\right)\left(\log_5 x\right)} \leqslant 0.

Пояснение. Применим метод рационализации к каждому из четырёх множителей:

$\log_2 x - 1 = \log_2 x - \log_2 2 \implies$ замена на $x - 2$ (так как $2 > 1$ ).
$\log_3 x - 2 = \log_3 x - \log_3 9 \implies$ замена на $x - 9$ (так как $3 > 1$ ).
$\log_{1/2} x = \log_{1/2} x - \log_{1/2} 1 \implies$ замена на $1 - x$ (так как $1/2 < 1$ ).
$\log_5 x = \log_5 x - \log_5 1 \implies$ замена на $x - 1$ (так как $5 > 1$ ).

Решение.

Ограничения на переменную: $\begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1 \text{ (знаменатель } \neq 0). \end{cases}$

\begin{aligned} &\frac{\left(\log_2 x - 1\right)\left(\log_3 x - 2\right)}{\left(\log_{1/2} x\right)\left(\log_5 x\right)} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{(x - 2)(x - 9)}{(1 - x)(x - 1)} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \quad &\frac{(x - 2)(x - 9)}{-(x - 1)^2} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{(x - 2)(x - 9)}{(x - 1)^2} \geqslant 0. \end{aligned}

Решаем методом интервалов. Критические точки: $x = 1$ (знак не меняется, выколотая точка), $x = 2$ , $x = 9$ . Выражение положительно или равно нулю при $x \in (0; 1) \cup (1; 2] \cup [9; +\infty)$ . Это множество полностью удовлетворяет ограничениям на переменную.

Ответ: $(0; 1) \cup (1; 2] \cup [9; +\infty)$ .

Заключение. В этой статье мы рассматривали задачи с постоянными основаниями логарифма. Задачи с переменным основанием будут рассмотрены в отдельной статье.

Исходное выражение	Условие на $a$	"Равнознаковая" замена
$\log_a{b} - \log_a{c}$	$a > 1$	$\boldsymbol{b - c}$
$\log_a{b} - \log_a{c}$	$0 < a < 1$	$\boldsymbol{c - b}$
$\log_a{b} - \log_a{c}$	любое $a > 0, a \neq 1$	$\boldsymbol{(a - 1)(b - c)}$
$\log_a{b}$	$a > 1$	$\boldsymbol{b - 1}$
$\log_a{b}$	$0 < a < 1$	$\boldsymbol{1 - b}$
ВАЖНО! Не забывайте про ограничения на переменную: $\boldsymbol{b > 0}$ и $\boldsymbol{c > 0}$ !