Метод рационализации в показательных неравенствах
1. Главная идея: замена на "равнознаковое" выражение
2. Напоминание: монотонность функций
3. Ключевая замена для показательных выражений
4. Важное ограничение метода
5. Разбор примеров

Навык

Метод рационализации в показательных неравенствах

1. Главная идея: замена на "равнознаковое" выражение

Начнём с примера. Выражения $x^2 + 5$ и $1000x^8 + 1000x^6 + 1000x^4 + 1000x^2 + 1000$ совпадают по знаку при всех $x$ (оба всегда положительны). Но первое явно проще второго. Можно ли где-нибудь "сыграть" на таких совпадениях? Спойлер: да, и очень эффективно!

Когда мы решаем неравенство вида $f(x) > 0$ , нас по сути интересует только один вопрос: как выражение $f(x)$ соотносится с нулём? Больше нуля, меньше нуля или равно нулю? Конкретное значение $f(x)$ в каждой точке нам не важно.

А раз так, возникает естественный вопрос: можно ли заменить $f(x)$ на какое-нибудь другое выражение $g(x)$ , которое совпадает с ним по знаку при всех допустимых $x$ , но при этом гораздо проще?

Если да, то неравенство $f(x) > 0$ будет равносильно неравенству $g(x) > 0$ .

На этой простой идее и основан метод рационализации (или метод замены множителя).

Будем (для краткости) называть выражения $f(x)$ и $g(x)$ "равнознаковыми", если они принимают одинаковые знаки (положительный, отрицательный или ноль) при всех допустимых значениях $x$ .

Важное уточнение: "равнознаковость" — это совпадение знаков, а не значений! Выражения могут быть "равнознаковыми", но принимать совершенно разные числовые значения.

Контрпример. Выражения $x$ и $2x$ "равнознаковы": оба положительны при $x > 0$ , оба отрицательны при $x < 0$ , оба равны нулю при $x = 0$ . Но их значения разные: при $x = 1$ получаем $x = 1$ , а $2x = 2$ . Для решения неравенств важно только совпадение знаков, а не равенство чисел.

Важно: вместо " $> 0$ " может стоять любой знак сравнения с нулём: " $< 0$ ", " $\leqslant 0$ " или " $\geqslant 0$ ". Суть одна и та же — мы изучаем знак выражения.

В этом разделе мы обсудим метод рационализации для показательных неравенств, хотя он применяется и для других функций.

2. Напоминание: монотонность функций

Прежде чем переходить к заменам, вспомним ключевое свойство, на котором всё держится — монотонность.

Функция называется возрастающей на промежутке $X$ (входящем в область определения функции), если для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$ , выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ .

pic_1.pdf — Монотонно возрастающая функция

Функция называется убывающей на промежутке $X$ (входящем в область определения функции), если для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$ , выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$ .

Для показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0$ , $a \neq 1$ ) это работает так:

При $\boldsymbol{a > 1}$ функция возрастает.
При $\boldsymbol{0 < a < 1}$ функция убывает.

pic_3.pdf — Показательная функция при $a > 1$

pic_4.pdf — Показательная функция при $0 < a < 1$

Именно это свойство позволяет нам переходить от сравнения значений функции к сравнению их показателей!

3. Ключевая замена для показательных выражений

Рассмотрим выражение $a^b - a^c$ , где $a > 0$ и $a \neq 1$ . Мы хотим заменить его на что-то более простое, но "равнознаковое".

Выражения $a^b - a^c$ и $(a - 1)(b - c)$ "равнознаковы".

Почему это так? Всё следует из монотонности. Множитель $(a-1)$ работает как "переключатель":

Если $\boldsymbol{a > 1}$ , функция возрастает. Большему показателю соответствует большее значение. Знак разности $a^b - a^c$ такой же, как у $\boldsymbol{b - c}$ . Множитель $(a-1)$ здесь положительный и ничего не ломает.
Если $\boldsymbol{0 < a < 1}$ , функция убывает. Большему показателю соответствует меньшее значение, знак меняется на противоположный! Но множитель $(a-1)$ становится отрицательным и снова "переворачивает" знак обратно.

Исходное выражение	Условие на $a$	"Равнознаковая" замена
$a^b - a^c$	$a > 1$	$\boldsymbol{b - c}$
$a^b - a^c$	$0 < a < 1$	$\boldsymbol{c - b}$
$a^b - a^c$	любое $a > 0, a \neq 1$	$\boldsymbol{(a - 1)(b - c)}$
$a^x - 1$	$a > 1$	$\boldsymbol{x}$
$a^x - 1$	$0 < a < 1$	$\boldsymbol{-x}$

Подсказка: в последних двух строках используется тот факт, что $1 = a^0$ , поэтому $a^x - 1 = a^x - a^0$ .

4. Важное ограничение метода

Почему метод нужно применять с осторожностью? Метод заменяет множитель на "равнознаковый" (то есть имеющий тот же знак, а не то же значение).

Рассмотрим неравенство $2^x - 8 > 6$ . Если мы попытаемся применить метод рационализации к выражению $2^x - 8 = 2^x - 2^3$ , заменив его на "равнознаковое" $x - 3$ , то получим:

x - 3 > 6 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 9.

Но это неверный ответ! Например, $x = 4$ — решение исходного неравенства ( $2^4 - 8 = 8 > 6$ ), но оно не попадает в "наше решение" $x > 9$ .

Правильное решение: $2^x > 14$ , то есть $x > \log_2 14 \approx 3{,}81$ .

Вывод: "Равнознаковость" гарантирует совпадение знака относительно нуля, но не сохраняет числовые значения. Поэтому метод работает только при сравнении с нулём.

Хорошая новость: любое показательное неравенство можно свести к сравнению с нулём, просто перенеся всё в одну часть. Например: $2^x > 8 \implies 2^x - 2^3 > 0$ .

5. Разбор примеров

Пример 1. Решите неравенство $2^x - 2^3 > 0$ .

Пояснение. Наше выражение имеет вид $a^b - a^c$ , где $a = 2$ , $b = x$ , $c = 3$ . Так как основание $a = 2 > 1$ , выражение $2^x - 2^3$ "равнознаково" разности показателей $b - c$ , то есть $x - 3$ .

Решение.

2^x - 2^3 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x - 3 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 3.

Ответ: $(3; +\infty)$ .

Пример 2. Решите неравенство $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x - \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 < 0$ .

Пояснение. Наше выражение имеет вид $a^b - a^c$ , где $a = \dfrac{1}{2}$ , $b = x$ , $c = 5$ . Так как основание $0 < a < 1$ , выражение $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x - \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$ "равнознаково" разности $c - b$ , то есть $5 - x$ .

Решение.

\left(\frac{1}{2}\right)^x - \left(\frac{1}{2}\right)^5 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 5 - x < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 5.

Ответ: $(5; +\infty)$ .

Пример 3. Решите неравенство $3^{2x-1} - 3^{x+2} \geqslant 0$ .

Пояснение. Наше выражение имеет вид $a^b - a^c$ , где $a = 3$ , $b = 2x - 1$ , $c = x + 2$ . Так как основание $a = 3 > 1$ , выражение $3^{2x-1} - 3^{x+2}$ "равнознаково" разности показателей $b - c$ :

b - c = (2x - 1) - (x + 2) = x - 3.

Решение.

3^{2x-1} - 3^{x+2} \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x - 3 \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geqslant 3.

Ответ: $[3; +\infty)$ .

Пример 4. Решите неравенство $4^x - 2 \leqslant 0$ .

Пояснение. Заметим, что $2 = 4^{1/2}$ . Перепишем неравенство: $4^x - 4^{1/2} \leqslant 0$ . Наше выражение имеет вид $a^b - a^c$ , где $a = 4$ , $b = x$ , $c = \dfrac{1}{2}$ . Так как основание $a = 4 > 1$ , выражение $4^x - 4^{1/2}$ "равнознаково" разности показателей $b - c$ , то есть $x - \dfrac{1}{2}$ .

Решение.

\begin{aligned} &4^x - 2 \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 4^x - 4^{1/2} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \quad &x - \frac{1}{2} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \leqslant \frac{1}{2}. \end{aligned}

Ответ: $\left(-\infty; \dfrac{1}{2}\right]$ .

Пример 5. Решите неравенство $5^x - 1 > 0$ .

Пояснение. Заметим, что $1 = 5^0$ . Перепишем неравенство: $5^x - 5^0 > 0$ . Наше выражение имеет вид $a^b - a^c$ , где $a = 5$ , $b = x$ , $c = 0$ . Так как основание $a = 5 > 1$ , выражение $5^x - 1$ "равнознаково" разности показателей $b - c$ , то есть $x - 0 = x$ .

Решение.

5^x - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 5^x - 5^0 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 0.

Ответ: $(0; +\infty)$ .

Пример 6. Решите неравенство $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x - 1 \leqslant 0$ .

Пояснение. Заметим, что $1 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^0$ . Перепишем неравенство: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x - \left(\dfrac{1}{3}\right)^0 \leqslant 0$ . Наше выражение имеет вид $a^b - a^c$ , где $a = \dfrac{1}{3}$ , $b = x$ , $c = 0$ . Так как основание $0 < a < 1$ , выражение $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x - 1$ "равнознаково" разности $c - b$ , то есть $0 - x = -x$ .

Решение.

\begin{aligned} &\left(\frac{1}{3}\right)^x - 1 \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left(\frac{1}{3}\right)^x - \left(\frac{1}{3}\right)^0 \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \quad &-x \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geqslant 0. \end{aligned}

Ответ: $[0; +\infty)$ .

Пример 7. Решите неравенство $\left(5^{x^2} - 5^x\right)\left(\left(\dfrac{1}{4}\right)^x - 1\right) \geqslant 0$ .

Пояснение. Неравенство представляет собой произведение двух скобок. Применим метод к каждой скобке отдельно.

Первая скобка: $5^{x^2} - 5^x$ . Здесь $a = 5$ , $b = x^2$ , $c = x$ . Так как $a = 5 > 1$ , выражение "равнознаково" разности $b - c = x^2 - x$ .

Вторая скобка: $\left(\dfrac{1}{4}\right)^x - 1 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x - \left(\dfrac{1}{4}\right)^0$ . Здесь $a = \dfrac{1}{4}$ , $b = x$ , $c = 0$ . Так как $0 < a < 1$ , выражение "равнознаково" разности $c - b = 0 - x = -x$ .

Решение.

\begin{aligned} &\left(5^{x^2} - 5^x\right)\left(\left(\frac{1}{4}\right)^x - 1\right) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x^2 - x)(-x) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \quad &-x^2(x - 1) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2(x - 1) \leqslant 0. \end{aligned}

Так как $x^2 \geqslant 0$ при всех $x$ , при $x \neq 0$ знак выражения определяется множителем $(x - 1)$ . Неравенство выполняется при $x - 1 \leqslant 0$ , то есть $x \leqslant 1$ (точка $x = 0$ также подходит, так как обращает выражение в ноль).

Ответ: $(-\infty; 1]$ .

Пример 8. Решите неравенство

\frac{\left(2^x - 2\right)\left(3^x - 9\right)}{\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right)\left(5^x - 1\right)} \leqslant 0.

Пояснение. Применим метод рационализации к каждому из четырёх множителей.

Числитель, первая скобка: $2^x - 2 = 2^x - 2^1$ . Здесь $a = 2$ , $b = x$ , $c = 1$ . Так как $a = 2 > 1$ , выражение "равнознаково" $b - c = x - 1$ .

Числитель, вторая скобка: $3^x - 9 = 3^x - 3^2$ . Здесь $a = 3$ , $b = x$ , $c = 2$ . Так как $a = 3 > 1$ , выражение "равнознаково" $b - c = x - 2$ .

Знаменатель, первая скобка: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x - 1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x - \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$ . Здесь $a = \dfrac{1}{2}$ , $b = x$ , $c = 0$ . Так как $0 < a < 1$ , выражение "равнознаково" $c - b = -x$ .

Знаменатель, вторая скобка: $5^x - 1 = 5^x - 5^0$ . Здесь $a = 5$ , $b = x$ , $c = 0$ . Так как $a = 5 > 1$ , выражение "равнознаково" $b - c = x$ .

Решение.

\begin{aligned} &\frac{\left(2^x - 2\right)\left(3^x - 9\right)}{\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\right)\left(5^x - 1\right)} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{(x - 1)(x - 2)}{(-x) \cdot x} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \quad &\frac{(x - 1)(x - 2)}{-x^2} \leqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{(x - 1)(x - 2)}{x^2} \geqslant 0. \end{aligned}

Решим методом интервалов.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 1] \cup [2; +\infty)$ .