ДВИ МГУ по математике — 2014, Поток 3

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением 7+210(5−2)\sqrt{7+2\sqrt{10}}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right).
Задача 3МГУ
Найдите все положительные xx, удовлетворяющие неравенству x−7x+5<x−4.x^{-7x+5}<x^{-4}.
Задача 4МГУ
Решите уравнение cos⁡2x+2 ∣cos⁡x∣sin⁡ ⁣(5x2−π8)+12=0.\cos^2 x + \sqrt2\,|\cos x|\sin\!\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)+\dfrac12=0.
Задача 5МГУ
Окружности Ω1\Omega_1 и Ω2\Omega_2 с центрами в точках O1O_1 и O2O_2 касаются внешним образом в точке AA. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается Ω1\Omega_1 в точке BB и пересекает в точке CC общую касательную этих окружностей, проходящую через точку AA. Прямая, делящая угол ACO1ACO_1 пополам, пересекает прямые O1O2O_1O_2 и BO1BO_1 в точках LL и DD соответственно. Найдите LO1LO_1, если известно, что CO2=2CO_2=2, а прямые CO2CO_2 и DO2DO_2 перпендикулярны.
Задача 6МГУ
Решите систему уравнений {1sin⁡3x+1cos⁡3y=54ctg⁡2x+tg⁡2y=16\begin{cases} \dfrac{1}{\sin^3 x} + \dfrac{1}{\cos^3 y} = 54 \\ \ctg^2 x + \tg^2 y = 16 \end{cases}
Задача 7МГУ
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 11. Высота призмы равна 3\sqrt{3}. Найдите расстояние между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.
Задача 8МГУ
Пусть f(x,y)=−6x2−11y2−16xy+5+y,f(x,y)=\sqrt{-6x^{2}-11y^{2}-16xy+5}+y, g(x,y)=−−6x2−11y2−16xy+5+y.g(x,y)=-\sqrt{-6x^{2}-11y^{2}-16xy+5}+y. Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.