ДВИ МГУ по математике — 2014, Поток 1

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3
Задача 1МГУ
Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением 7−43(8+43)\sqrt{7-4\sqrt{3}}\left(8+4\sqrt{3}\right).
Задача 3МГУ
Найдите все положительные xx, удовлетворяющие неравенству x3x+7>x12.x^{3x+7}>x^{12}.
Задача 4МГУ
Решите уравнение cos⁡2x−cos⁡x sin⁡2 ⁣(5x4−5π12)+14=0.\cos^2 x - \cos x\,\sin^2\!\left(\dfrac{5x}{4}-\dfrac{5\pi}{12}\right)+\dfrac14=0.
Задача 5МГУ
Окружности Ω1\Omega_1 и Ω2\Omega_2 с центрами в точках O1O_1 и O2O_2 касаются внешним образом в точке AA. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается Ω1\Omega_1 и Ω2\Omega_2 соответственно в точках B1B_1 и B2B_2. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку AA, пересекает отрезок B1B2B_1B_2 в точке CC. Прямая, делящая угол ACO2ACO_2 пополам, пересекает прямые O1B1O_1B_1, O1O2O_1O_2, O2B2O_2B_2 в точках D1D_1, LL, D2D_2 соответственно. Найдите отношение LD2:O2D2LD_2:O_2D_2, если известно, что CD1=CO1CD_1=CO_1.
Задача 6МГУ
Найдите все положительные xx, yy, удовлетворяющие системе уравнений {x3/2+y=16x+y2/3=8\begin{cases} x^{3/2} + y = 16 \\ x + y^{2/3} = 8 \end{cases}
Задача 7МГУ
В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 11. Высота призмы равна 2\sqrt{2}. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.
Задача 8МГУ
Пусть f(x,y)=−6x2−14y2−18xy+6+y,f(x,y)=\sqrt{-6x^{2}-14y^{2}-18xy+6}+y, g(x,y)=−−6x2−14y2−18xy+6+y.g(x,y)=-\sqrt{-6x^{2}-14y^{2}-18xy+6}+y. Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.