ДВИ МГУ 2014, Поток 2 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением

\sqrt{5-2\sqrt{6}}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)

.

Задача 3МГУ

Найдите все положительные

x

, удовлетворяющие неравенству

x^{-5x-3}<x^{-7}.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\sin^2 x + \sqrt2\,|\sin x|\cos\!\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{5\pi}{8}\right)+\dfrac12=0.

Решение

Выделим полный квадрат относительно

|\sin x|:

\sin^2 x + \sqrt2\,|\sin x|\cos\!\left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}\right)+\frac12=\left(|\sin x|+\frac{1}{\sqrt2}\cos\!\left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}\right)\right)^2+\frac12-\frac12\cos^2\!\left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}\right).

Сумма неотрицательна и обращается в нуль лишь при условии

\begin{cases}\cos^2\!\left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}\right)=1,\\[1mm]|\sin x|+\frac{1}{\sqrt2}\cos\!\left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}\right)=0.\end{cases}

Так как

|\sin x|\ge 0,

из второго равенства следует

\cos \left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}\right)\le 0,

поэтому с учётом первого условия

\cos \left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}\right)=-1,

откуда

|\sin x|=\tfrac{1}{\sqrt2}.

Получаем

\begin{cases}\frac{5x}{2}-\frac{5\pi}{8}=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[1mm]x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2},\ m\in\mathbb{Z};\end{cases}\iff\begin{cases}x=\frac{13\pi}{20}+\frac{4\pi k}{5},\ k\in\mathbb{Z},\\[1mm]x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2},\ m\in\mathbb{Z};\end{cases}\iff x=\frac{9\pi}{4}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.

Задача 5МГУ

Окружности

\Omega_1

и

\Omega_2

с центрами в точках

O_1

и

O_2

касаются внешним образом в точке

A

. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается

\Omega_1

в точке

B

и пересекает в точке

C

общую касательную этих окружностей, проходящую через точку

A

. Прямая, делящая угол

ACO_1

пополам, пересекает прямые

O_1O_2

и

BO_1

в точках

L

и

D

соответственно. Найдите

CO_2

, если известно, что

LO_1=2

, а прямые

CO_2

и

DO_2

перпендикулярны.

Задача 6МГУ

Решите систему уравнений

\begin{cases} \dfrac{1}{\cos^3 x} + \dfrac{1}{\sin^3 y} = 16 \\ \tg^2 x + \ctg^2 y = 6 \end{cases}

Задача 7МГУ

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной

1

. Высота призмы равна

\sqrt{7}

. Найдите расстояние между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

Задача 8МГУ

Пусть

f(x,y)=\sqrt{-5x^{2}-13y^{2}-16xy+2}+y,

g(x,y)=-\sqrt{-5x^{2}-13y^{2}-16xy+2}+y.

Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.