Рационализация

Преобразуй неравенство, учитывая знаки множителей и область определения.

Правила рационализации и ограничения

Стрелка в записи замены не означает равенство выражений. Учитывай знак основания, знак вынесенного коэффициента и исходную область определения.

Знаменатель не может быть равен $0$ . В этом тренажёре его нули нужно сохранить исключёнными в преобразованной дроби, а ограничения логарифмов, корней и переменных оснований записать отдельно. Указание «ограничений нет» в правиле относится только к самой замене и не отменяет запрета на деление на нуль.

Показательные

a^{f}-a^{g}\;\to\;f-g

$a$ — число. При $a>1$ знак неравенства сохраняется, при $0<a<1$ меняется. Ограничений нет.

k\cdot a^{f}-m\;\to\;a^{f}-\frac{m}{k}

Положительный коэффициент $k$ выносим — на знак он не влияет. Число записываем как степень $a$ .

Логарифмы

\log_a f-\log_a g\;\to\;f-g

$a$ — число, знак — как у показательной. ОДЗ: $f>0,\ g>0$ .

\log_a f-k\;\to\;f-a^{k}

Число $k$ записываем как $\log_a a^{k}$ . ОДЗ: $f>0$ .

k\log_a f+m\;\to\;f-a^{-\frac{m}{k}}

Сначала выносим $k>0$ . Пример: $4\log_{16}f+1=4\left(\log_{16}f-\log_{16}\frac12\right)\to f-\frac12$ .

k\log_a f-\log_a g\;\to\;f^{k}-g

Вносим коэффициент в логарифм: можно, так как $f>0$ . ОДЗ: $f>0,\ g>0$ .

Переменное основание — скобка $(h-1)$ нужна

\log_h f-\log_h g\;\to\;(h-1)(f-g)

ОДЗ: $h>0,\ h\ne 1,\ f>0,\ g>0$ .

h^{f}-h^{g}\;\to\;(h-1)(f-g)

ОДЗ: $h>0$ .

Корни

\sqrt[n]{f}-\sqrt[n]{g}\;\to\;f-g

$n$ чётное ( $\sqrt{\ },\ \sqrt[4]{\ },\ \sqrt[6]{\ }$ ). ОДЗ: $f\ge 0,\ g\ge 0$ .

\sqrt[n]{f}-c\;\to\;f-c^{n}

$n$ чётное, $c>0$ : $c=\sqrt[n]{c^{n}}$ . ОДЗ: $f\ge 0$ .

k\sqrt{f}-c\;\to\;k^{2}f-c^{2}

$k\sqrt{f}=\sqrt{k^{2}f}$ при $k>0$ . ОДЗ: $f\ge 0$ .

\sqrt[n]{f}-\sqrt[n]{g}\;\to\;f-g

$n$ нечётное ( $\sqrt[3]{\ },\ \sqrt[5]{\ }$ ). Ограничений нет.

\sqrt[n]{f}\pm c\;\to\;f\pm c^{n}

$n$ нечётное. Корень может быть отрицательным: $\sqrt[3]{f}+2\to f+8$ — это не множитель постоянного знака!

Модули и степени

|f|-|g|\;\to\;(f-g)(f+g)

Ограничений нет. Так же для $f^{2n}-g^{2n}$ .

k|f|-|g|\;\to\;(kf-g)(kf+g)

$k|f|=|kf|$ при $k>0$ .

f^{2n+1}-g^{2n+1}\;\to\;f-g

Нечётная степень. Ограничений нет.

A^{2n}\;\to\;\tilde A^{\,2n}

Скобка в чётной степени: рационализируем то, что внутри, степень оставляем (иначе потеряем нули), смену знака внутри не учитываем.

A^{2n+1}\;\to\;\tilde A^{\,2n+1}

Скобка в нечётной степени: знак как у скобки, смена знака внутри учитывается.

Постоянный знак

2^{x}+3,\quad (x-1)^{2}+4,\quad \sqrt[4]{x}+1

Положительный множитель убираем, отрицательный убираем и меняем знак неравенства. ОДЗ (например, $x\ge 0$ у $\sqrt[4]{x}$ ) остаётся.

Методика и исходные задания — Владислав Вуль.