Неравенства: Решите неравенство log_49(x + 4) +... — задача
Условие, ответ и разбор задачи
НеравенстваФИПИЕГЭ 2026 (досрок)
Решите неравенствоlog49(x+4)+log(x2+8x+16)7⩽−43.
Решение
Найдём ОДЗ неравенства:
\[ \begin{cases} x+4>0,\\ x^2+8x+16>0,\\ x^2+8x+16\neq 1. \end{cases} \]
По формуле квадрата суммы ($a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$)
$$ x^2+8x+16=(x+4)^2, $$
поэтому второе неравенство в системе следует из первого.
Третье условие запишем как $x^2+8x+15\neq 0.$ Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2+8x+15.$ Корни будут $x_1=-5, x_2=-3.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=-8,\\ x_1\cdot x_2=15, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $15$ на два множителя. Сумму $-8$ даёт пара $-5$ и $-3.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -5+(-3)=-8,\\ (-5)\cdot(-3)=15. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=-5,\\ x_2=-3. \end{array} \right. \]) Значит, $x\neq -5$ и $x\neq -3.$ Получаем ОДЗ:
\[ \begin{cases} x>-4,\\ x\neq -5,\\ x\neq -3 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-4;-3)\cup(-3;+\infty). \]
Приведём логарифмы к основанию $7.$ Так как $49=7^2,$ по свойству логарифма ($\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$)
\[ \log_{49}(x+4)=\log_{7^2}(x+4)=\dfrac12\log_7(x+4). \]
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию ($\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$):
\[ \log_{(x+4)^2}\sqrt7=\dfrac{\log_7 7^{\frac12}}{\log_7(x+4)^2}=\dfrac{\dfrac12}{2\log_7(x+4)}=\dfrac{1}{4\log_7(x+4)}. \]
На ОДЗ $x+4>0,$ поэтому чётная степень выносится без модуля:
$$ \log_7(x+4)^2=2\log_7(x+4). $$
Неравенство принимает вид
\[ \dfrac12\log_7(x+4)+\dfrac{1}{4\log_7(x+4)}\leqslant -\dfrac34. \]
Сделаем замену $t=\log_7(x+4):$
\[ \dfrac12 t+\dfrac{1}{4t}+\dfrac34\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{2t^2+3t+1}{4t}\leqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $2t^2+3t+1$ на множители. Корни будут $t_1=-1, t_2=-\dfrac12.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ 2t^2+3t+1=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=\dfrac{-3-1}{4}=-1,\\[2mm] t_2=\dfrac{-3+1}{4}=-\dfrac12. \end{array} \right. \])
Поэтому
\[ 2t^2+3t+1=2(t+1)\left(t+\dfrac12\right)=(t+1)(2t+1). \]
Получаем:
\[ \dfrac{(t+1)(2t+1)}{4t}\leqslant 0. \]
Решим его методом интервалов:
\[ t\in(-\infty;-1]\cup\left[-\dfrac12;0\right). \]
Сделаем обратную замену:
\[ \left[ \begin{array}{l} \log_7(x+4)\leqslant -1,\\[2mm] -\dfrac12\leqslant\log_7(x+4)<0 \end{array} \right. \]
Функция $y=\log_7 t$ монотонно возрастает, так как $7>1,$ поэтому
\[ \left[ \begin{array}{l} \log_7(x+4)\leqslant\log_7 7^{-1},\\[2mm] \log_7 7^{-\frac12}\leqslant\log_7(x+4)<\log_7 7^0 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} 0<x+4\leqslant\dfrac17,\\[2mm] \dfrac{1}{\sqrt7}\leqslant x+4<1 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} -4<x\leqslant -\dfrac{27}{7},\\[2mm] -4+\dfrac{1}{\sqrt7}\leqslant x<-3. \end{array} \right. \]
С учётом ОДЗ получаем:
\[ x\in\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right]\cup\left[-4+\dfrac{1}{\sqrt7};-3\right). \]
Ответ: $\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right]\cup\left[-4+\dfrac{1}{\sqrt7};-3\right).$
\[ \begin{cases} x+4>0,\\ x^2+8x+16>0,\\ x^2+8x+16\neq 1. \end{cases} \]
По формуле квадрата суммы ($a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$)
$$ x^2+8x+16=(x+4)^2, $$
поэтому второе неравенство в системе следует из первого.
Третье условие запишем как $x^2+8x+15\neq 0.$ Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2+8x+15.$ Корни будут $x_1=-5, x_2=-3.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=-8,\\ x_1\cdot x_2=15, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $15$ на два множителя. Сумму $-8$ даёт пара $-5$ и $-3.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -5+(-3)=-8,\\ (-5)\cdot(-3)=15. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=-5,\\ x_2=-3. \end{array} \right. \]) Значит, $x\neq -5$ и $x\neq -3.$ Получаем ОДЗ:
\[ \begin{cases} x>-4,\\ x\neq -5,\\ x\neq -3 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-4;-3)\cup(-3;+\infty). \]
Приведём логарифмы к основанию $7.$ Так как $49=7^2,$ по свойству логарифма ($\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$)
\[ \log_{49}(x+4)=\log_{7^2}(x+4)=\dfrac12\log_7(x+4). \]
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию ($\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$):
\[ \log_{(x+4)^2}\sqrt7=\dfrac{\log_7 7^{\frac12}}{\log_7(x+4)^2}=\dfrac{\dfrac12}{2\log_7(x+4)}=\dfrac{1}{4\log_7(x+4)}. \]
На ОДЗ $x+4>0,$ поэтому чётная степень выносится без модуля:
$$ \log_7(x+4)^2=2\log_7(x+4). $$
Неравенство принимает вид
\[ \dfrac12\log_7(x+4)+\dfrac{1}{4\log_7(x+4)}\leqslant -\dfrac34. \]
Сделаем замену $t=\log_7(x+4):$
\[ \dfrac12 t+\dfrac{1}{4t}+\dfrac34\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{2t^2+3t+1}{4t}\leqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $2t^2+3t+1$ на множители. Корни будут $t_1=-1, t_2=-\dfrac12.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ 2t^2+3t+1=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=\dfrac{-3-1}{4}=-1,\\[2mm] t_2=\dfrac{-3+1}{4}=-\dfrac12. \end{array} \right. \])
Поэтому
\[ 2t^2+3t+1=2(t+1)\left(t+\dfrac12\right)=(t+1)(2t+1). \]
Получаем:
\[ \dfrac{(t+1)(2t+1)}{4t}\leqslant 0. \]
Решим его методом интервалов:
\[ t\in(-\infty;-1]\cup\left[-\dfrac12;0\right). \]
Сделаем обратную замену:
\[ \left[ \begin{array}{l} \log_7(x+4)\leqslant -1,\\[2mm] -\dfrac12\leqslant\log_7(x+4)<0 \end{array} \right. \]
Функция $y=\log_7 t$ монотонно возрастает, так как $7>1,$ поэтому
\[ \left[ \begin{array}{l} \log_7(x+4)\leqslant\log_7 7^{-1},\\[2mm] \log_7 7^{-\frac12}\leqslant\log_7(x+4)<\log_7 7^0 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} 0<x+4\leqslant\dfrac17,\\[2mm] \dfrac{1}{\sqrt7}\leqslant x+4<1 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} -4<x\leqslant -\dfrac{27}{7},\\[2mm] -4+\dfrac{1}{\sqrt7}\leqslant x<-3. \end{array} \right. \]
С учётом ОДЗ получаем:
\[ x\in\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right]\cup\left[-4+\dfrac{1}{\sqrt7};-3\right). \]
Ответ: $\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right]\cup\left[-4+\dfrac{1}{\sqrt7};-3\right).$