Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ЕГЭ 2022 (досрок)
Скопировать ссылку
c1991dd9
Найдите точку минимума функции
y
=
x
x
−
9
x
+
4.
y=x\sqrt{x}-9x+4.
y
=
x
x
−
9
x
+
4.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Область определения функции:
x
⩾
0
x\geqslant 0
x
⩾
0
.
Представим первое слагаемое в виде степени:
x
x
=
x
⋅
x
1
2
=
x
3
2
.
x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac12}=x^{\frac32}.
x
x
=
x
⋅
x
2
1
=
x
2
3
.
Тогда
y
=
x
3
2
−
9
x
+
4.
y=x^{\frac32}-9x+4.
y
=
x
2
3
−
9
x
+
4.
Найдём производную:
y
′
=
3
2
x
1
2
−
9
=
3
2
x
−
9.
y'=\dfrac32x^{\frac12}-9=\dfrac32\sqrt{x}-9.
y
′
=
2
3
x
2
1
−
9
=
2
3
x
−
9.
Найдём нули производной:
3
2
x
−
9
=
0
,
\dfrac32\sqrt{x}-9=0,
2
3
x
−
9
=
0
,
3
2
x
=
9
,
\dfrac32\sqrt{x}=9,
2
3
x
=
9
,
x
=
6
,
\sqrt{x}=6,
x
=
6
,
x
=
36.
x=36.
x
=
36.
Отметим область определения и ноль производной на числовой прямой и определим знаки производной.
При
x
∈
(
−
∞
;
0
)
x\in(-\infty;0)
x
∈
(
−
∞
;
0
)
функция не определена.
При
x
∈
(
0
;
36
)
x\in\left(0;36\right)
x
∈
(
0
;
36
)
производная отрицательна, значит, функция убывает.
При
x
∈
(
36
;
+
∞
)
x\in(36;+\infty)
x
∈
(
36
;
+
∞
)
производная положительна, значит, функция возрастает.
Следовательно,
x
=
36
x=36
x
=
36
--- точка минимума.
Ответ:
36
36
36
.
