Сопоставление неравенств разных видов — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваПрофиматика

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)

\log_{2}x>0

Б)

2^{-x}>2

В)

\frac{x}{x-1}<0

Г)

\frac{1}{x^{2}-x}>0

РЕШЕНИЯ

1

)

2

)

3

)

4

)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В	Г

Ответ:

Решение

Решим четыре неравенства по отдельности и сопоставим полученные множества с вариантами справа.

1

. Неравенство

\log_{2}x>0

Сначала учитываем область определения: аргумент логарифма должен быть положительным. Основание

2

сравниваем с

1

. Затем переходим от логарифмического неравенства к неравенству для аргумента: при основании больше

1

знак сохраняется, а при основании между

0

1

меняется на противоположный.

В результате получаем

x\in (1;+\infty).

Это множество изображено в варианте №

3

.

Следовательно,

\text{А}\longleftrightarrow 3.

2

. Неравенство

2^{-x}>2

Представляем обе части в виде степеней одного основания. Если основание больше

1

, показательная функция возрастает и знак при сравнении показателей сохраняется. Если основание лежит между

0

1

, функция убывает и знак меняется на противоположный.

В результате получаем

x\in (-\infty;-1).

Это множество изображено в варианте №

2

.

Следовательно,

\text{Б}\longleftrightarrow 2.

3

. Неравенство

\frac{x}{x-1}<0

Применяем метод интервалов: нули числителя:

0

; нули знаменателя:

1

, их исключаем. Затем расставляем знаки на полученных промежутках и учитываем строгость неравенства.

В результате получаем

x\in (0;1).

Это множество изображено в варианте №

4

.

Следовательно,

\text{В}\longleftrightarrow 4.

4

. Неравенство

\frac{1}{x^{2}-x}>0

Левая часть

\frac{1}{x^{2} - x}

положительна при любом действительном

x

. Правую часть упрощаем:

0=0

. После сравнения с нулём сразу определяем, выполняется ли неравенство для всех действительных чисел или не имеет решений.

В результате получаем

x\in (-\infty;0)\cup(1;+\infty).

Это множество изображено в варианте №

1

.

Следовательно,

\text{Г}\longleftrightarrow 1.

Итак,

\text{А}-3,\qquad \text{Б}-2,\qquad \text{В}-4,\qquad \text{Г}-1.

Записываем номера без пробелов в порядке букв.

Ответ:

3241

Сопоставление неравенств разных видов — задача ЕГЭ по профильной математике

НЕРАВЕНСТВА

РЕШЕНИЯ

Похожие задачи