Кинематика: Камень брошен горизонтально с высоты H=20 м... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Расчётные задачи по механикеВариант профиматики 2026 №1Профиматика

Камень брошен горизонтально с высоты

H=20

м над поверхностью земли. Определите, под каким углом

\alpha

к горизонту был направлен вектор скорости камня в момент удара о землю, если дальность его полета равна

s=15

м. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

1. Описание движения тела и кинематические уравнения

Свяжем систему координат с землёй: ось

Ox

направим горизонтально в сторону броска, ось

Oy

— вертикально вверх, начало координат поместим на поверхности земли под точкой броска.

Проекции начальной скорости

\vec{v}_0

и ускорения свободного падения

\vec{g}

на оси координат:

\begin{gathered}v_{0x} = v_0, \quad v_{0y} = 0, \quad a_x \\= 0, \quad a_y = -g\end{gathered}

Запишем кинематические уравнения движения тела:

x(t) = x_0 + v_{0x} t = v_0 t

\begin{gathered}y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} \\= H - \frac{g t^2}{2}\end{gathered}

v_x(t) = v_{0x} = v_0

v_y(t) = v_{0y} + a_y t = -g t

2. Нахождение компонентов скорости в момент удара о землю

В момент падения на землю (

t = \tau

) вертикальная координата

y(\tau) = 0

, а дальность полёта равна

x(\tau) = s

0 = H - \frac{g \tau^2}{2} \implies \tau = \sqrt{\frac{2H}{g}}

Из выражения для горизонтальной координаты найдём начальную скорость

v_0

s = v_0 \tau \implies v_0 = \frac{s}{\tau} = \frac{s}{\sqrt{\frac{2H}{g}}}

Составляющие скорости тела перед самым ударом о землю:

• Горизонтальная составляющая:

v_x = v_0 = \frac{s}{\sqrt{\frac{2H}{g}}}

• Модуль вертикальной составляющей:

|v_y| = g \tau = g \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{2gH}

3. Определение угла

\alpha

к горизонту

Вектор конечной скорости

\vec{v}

образует угол

\alpha

с горизонталью. Из прямоугольного треугольника скоростей тангенс угла

\alpha

равен отношению модуля вертикальной компоненты скорости к горизонтальной:

\begin{gathered}\operatorname{tg} \alpha = \frac{|v_y|}{v_x} = \frac{\sqrt{2gH}}{\frac{s}{\sqrt{\frac{2H}{g}}}} \\= \frac{\sqrt{2gH} \cdot \sqrt{\frac{2H}{g}}}{s} = \frac{\sqrt{4 H^2}}{s} = \frac{2H}{s}\end{gathered}

Подставим числовые данные:

\operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \cdot 20\text{ м}}{15\text{ м}} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67

Найдём значение угла

\alpha

\alpha = \operatorname{arctg}\left(\frac{8}{3}\right) \approx 69{,}4^\circ

Похожие задачи