Законы постоянного тока: До замыкания ключа К в электрической...

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

До замыкания ключа К в электрической цепи, изображённой на схеме (см. рисунок), идеальный вольтметр $V$ показывал напряжение $9$ В. После замыкания ключа идеальный амперметр $A$ показывает силу тока $0,4$ А. Каково внутреннее сопротивление источника тока? Сопротивления резисторов указаны на рисунке.

Ответ дайте в Ом.

Решение

Обозначим резисторы как

R_1

R_2

R_3

R_4

R_5

, где индексы соответствуют их номиналу (

{R_1=1}

Ом,

{R_2=2}

Ом и так далее).

Когда ключ К разомкнут, источник питания подключён только к идеальному вольтметру. Ток в цепи отсутствует, идеальный вольтметр

V

показывает ЭДС источника, то есть

{\mathscr{E}=9}

В.

Когда ключ К замкнут, ток течёт через все резисторы, а общее сопротивление цепи

R

складывается из сопротивления двух параллельных участков:

\cfrac{1}{R_{123}}=\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_3}

\begin{gathered}R_{123}=\cfrac{R_1R_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\=\cfrac{1\cdot2\cdot3}{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot1}=\cfrac{6}{11}\text{ Ом}\end{gathered}

\cfrac{1}{R_{45}}=\cfrac{1}{R_4}+\cfrac{1}{R_5}

\begin{gathered}R_{45}=\cfrac{R_4R_5}{R_4+R_5}=\cfrac{4\cdot5}{4+5}\\=\cfrac{20}{9}\text{ Ом}\end{gathered}

\begin{gathered}R=R_{123}+R_{45}=\cfrac{6}{11}+\cfrac{20}{9}\\=\cfrac{274}{99}\end{gathered}

Поскольку резисторы

R_1

R_2

R_3

подключены параллельно, напряжения как на резисторе

R_3

, так и на всём участке

R_{123}

равны. Тогда, согласно закону Ома для участка цепи,

{U_{123}=I_3R_3=IR_{123}}

, откуда ток в цепи равен

{I=\cfrac{I_3R_3}{R_{123}}}

.
Согласно закону Ома для полной цепи

\mathscr{E}=I(R+r)

, внутреннее сопротивление равно:

r=\cfrac{\mathscr{E}}{I}-R=\cfrac{\mathscr{E} R_{123}}{I_3R_3}-R

\begin{gathered}r=\cfrac{9\cdot\cfrac{6}{11}}{0,4\cdot3}-\cfrac{274}{99}\\=\cfrac{1}{99}\cdot\left(\cfrac{3\cdot9\cdot6}{0,4}-274\right)=\cfrac{131}{99}\\\approx1,32\text{ Ом}\end{gathered}

Законы постоянного тока: До замыкания ключа К в электрической...

Похожие задачи