Случайные величины: математическое ожидание, дисперсия и неравенство Чебышёва
1. Что такое случайная величина?
2. Математическое ожидание
3. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение
4. Неравенство Чебышёва
5. Работа с комбинациями случайных величин
6. Разбор типовых задач

Навык

Случайные величины: математическое ожидание, дисперсия и неравенство Чебышёва

1. Что такое случайная величина?

Говоря простым языком, случайная величина — это функция, значение которой зависит от случая. Мы не знаем заранее, какое именно значение она примет в конкретном испытании, но мы знаем все возможные варианты и вероятность наступления каждого из них.

Случайные величины бывают разными. Если возможные значения случайной величины можно просто перечислить по порядку (например, 1, 2, 3...), такую величину называют дискретной. В этой статье мы будем рассматривать только дискретные случайные величины, причем только с конечным множеством значений. Это значит, что мы всегда можем составить полный и конечный список всех возможных исходов.

Пример 1. Бросаем два игральных кубика. Случайная величина $X$ — это сумма выпавших очков. Она может принять значение от 2 до 12. При этом не все суммы одинаково вероятны. Например, сумма 7 может выпасть шестью разными способами: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Всего исходов при броске двух кубиков $6 \times 6 = 36$ , значит, вероятность выпадения 7 равна $6/36 = 1/6$ . А вот сумма 2 может выпасть только одним способом: (1,1), поэтому её вероятность составляет всего $1/36$ .

Чтобы полностью описать случайную величину, нужно задать её закон распределения. Проще всего это сделать с помощью таблицы, где в первой строке указаны все возможные значения, а во второй — их вероятности.

Пример 2. Учитель проверяет контрольную работу в классе из 20 человек. Четверо учеников получили ``3'', десять — ``4'', и шестеро — ``5''. Мы случайным образом выбираем одну тетрадь. Случайная величина $X$ — это оценка в выбранной тетради.

Давайте посчитаем вероятности. Всего тетрадей 20. Четверо получили ``3'', значит, вероятность этого события: $4 / 20 = 0{,}2$ . Десять получили ``4'', вероятность: $10 / 20 = 0{,}5$ . Шестеро получили ``5'', вероятность: $6 / 20 = 0{,}3$ .

Закон распределения будет выглядеть так:

Возможные значения $x_i$	3	4	5
Вероятности $p_i$	0,2	0,5	0,3

Важно: сумма всех вероятностей в таблице всегда должна быть равна 1. Проверяем: $0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1$ .

2. Математическое ожидание

Математическое ожидание $\mathrm{E}(X)$ — это ``среднее ожидаемое значение''.

Пример из жизни: представьте, что вы каждый день ходите в школу. Иногда вы добираетесь за 15 минут, иногда за 25, но если сложить время за весь месяц и разделить на количество дней, у вас получится, скажем, 20 минут. Математическое ожидание — это и есть тот средний результат, к которому мы приходим при большом количестве повторений.

Определение. Математическое ожидание дискретной случайной величины — это сумма произведений всех её возможных значений на соответствующие вероятности:

\mathrm{E}(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \ldots + x_n \cdot p_n.

Пример 3. Найдём математическое ожидание $\mathrm{E}(X)$ для оценок из Примера 2:

\mathrm{E}(X) = 3 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}3 = 0{,}6 + 2{,}0 + 1{,}5 = 4{,}1.

Это значит, что средний балл по классу составляет $4{,}1$ .

Полезные свойства математического ожидания $\mathrm{E}(X)$ :

Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине:
$\mathrm{E}(C) = C.$
Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания:
$\mathrm{E}(C \cdot X) = C \cdot \mathrm{E}(X).$
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:
$\mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}(X) + \mathrm{E}(Y).$
Прибавление константы к случайной величине увеличивает её мат. ожидание на эту же константу:
$\mathrm{E}(X + C) = \mathrm{E}(X) + C.$

3. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Дисперсия $\mathrm{D}(X)$ — это мера ``разброса'' значений случайной величины вокруг её математического ожидания.

Пример из жизни: у двух учеников средний балл (математическое ожидание) равен $4{,}0$ . Но первый ученик всегда получает стабильные ``4''. А второй ученик то получает ``3'', то ``5''. У второго ученика оценки ``скачут'' вокруг среднего гораздо сильнее, значит, дисперсия его оценок выше. Дисперсия как раз и показывает эту нестабильность.

Определение. Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания:

\mathrm{D}(X) = \mathrm{E}\!\left((X - \mathrm{E}(X))^2\right).

Проще говоря, мы вводим новую случайную величину $Y = (X - \mathrm{E}(X))^2$ — квадрат отклонения от среднего. Тогда дисперсия — это просто математическое ожидание этой новой величины: $\mathrm{D}(X) = \mathrm{E}(Y)$ .

Важное свойство: дисперсия не бывает отрицательной. Посмотрим на определение: внутри математического ожидания стоит квадрат $(X - \mathrm{E}(X))^2$ . Квадрат любого числа неотрицателен, а математическое ожидание неотрицательной величины тоже неотрицательно. Поэтому всегда выполняется:

\mathrm{D}(X) \geqslant 0.

Практический вывод: если при вычислении дисперсии у вас получилось отрицательное число — значит, где-то в вычислениях ошибка. Это отличный способ самопроверки.

Удобная формула для вычислений. Раскрыв скобки в определении и применив свойства матожидания, можно доказать, что дисперсию проще считать по следующей формуле:

\mathrm{D}(X) = \mathrm{E}(X^2) - (\mathrm{E}(X))^2,

где $\mathrm{E}(X^2) = x_1^2 \cdot p_1 + x_2^2 \cdot p_2 + \ldots + x_n^2 \cdot p_n$ .

Пример 4. Продолжим решать задачу с оценками. Мы уже знаем, что $\mathrm{E}(X) = 4{,}1$ . Найдём $\mathrm{E}(X^2)$ :

\mathrm{E}(X^2) = 3^2 \cdot 0{,}2 + 4^2 \cdot 0{,}5 + 5^2 \cdot 0{,}3 = 9 \cdot 0{,}2 + 16 \cdot 0{,}5 + 25 \cdot 0{,}3 = 1{,}8 + 8{,}0 + 7{,}5 = 17{,}3.

Теперь найдём дисперсию $\mathrm{D}(X)$ :

\mathrm{D}(X) = 17{,}3 - (4{,}1)^2 = 17{,}3 - 16{,}81 = 0{,}49.

Поскольку дисперсия измеряется в ``квадратных единицах'' (например, если $X$ — это длина в метрах, то $\mathrm{D}(X)$ — в квадратных метрах), на практике часто используют среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$ . Оно равно квадратному корню из дисперсии и измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина:

\sigma(X) = \sqrt{\mathrm{D}(X)}.

Пример 5. Найдем среднее квадратичное отклонение для наших оценок из Примера 4. Так как $\mathrm{D}(X) = 0{,}49$ , получаем:

\sigma(X) = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7.

Полезные свойства дисперсии $\mathrm{D}(X)$ :

Дисперсия постоянной величины равна нулю (постоянная величина не ``скачет''):
$\mathrm{D}(C) = 0.$
Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате:
$\mathrm{D}(C \cdot X) = C^2 \cdot \mathrm{D}(X).$
Прибавление константы не меняет разброс значений, поэтому дисперсия не изменяется:
$\mathrm{D}(X + C) = \mathrm{D}(X).$
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий (независимые — значит, результат одной не влияет на другую):
$\mathrm{D}(X + Y) = \mathrm{D}(X) + \mathrm{D}(Y).$

4. Неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва отвечает на важный практический вопрос: какова вероятность того, что случайная величина отклонится от своего среднего значения не менее чем на некоторое число $a$ ?

Пример из жизни: мы уже знаем, что в среднем вы добираетесь до школы за 20 минут. Но каждый день время в пути немного отличается. Неравенство Чебышёва позволяет оценить сверху вероятность того, что завтра вы потратите на дорогу слишком много или слишком мало времени — например, отклонитесь от средних 20 минут более чем на 5 минут.

Формулировка: для любого $a > 0$ справедлива оценка:

\mathrm{P}(|X - \mathrm{E}(X)| \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{D}(X)}{a^2}.

Это означает: вероятность того, что случайная величина $X$ отклонится от своего математического ожидания $\mathrm{E}(X)$ на величину $a$ или больше, не превосходит $\mathrm{D}(X)/a^2$ .

Пример 6. Случайная величина $X$ имеет математическое ожидание $\mathrm{E}(X) = 10$ и дисперсию $\mathrm{D}(X) = 4$ . Оцените вероятность того, что $X$ отклонится от среднего не менее чем на $a = 3$ (то есть $|X - 10| \geqslant 3$ ).

Решение: здесь $a = 3$ . Подставляем в неравенство Чебышёва:

\mathrm{P}(|X - 10| \geqslant 3) \leqslant \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444.

Ответ: вероятность не более $0{,}444$ .

5. Работа с комбинациями случайных величин

Часто в задачах нужно найти характеристики не одной величины, а их комбинации. Здесь нам помогут свойства, которые мы разобрали выше.

Пример 7. Случайные величины $X$ и $Y$ не зависят друг от друга (то есть результат одной не влияет на другую). Известно, что $\mathrm{E}(X) = 4$ , $\mathrm{D}(X) = 2$ , $\mathrm{E}(Y) = 3$ , $\mathrm{D}(Y) = 5$ . Найдите математическое ожидание и дисперсию величины $Z = 3X - 5Y$ .

Решение: 1) Для математического ожидания используем свойства линейности (константы выносятся, ожидание разности равно разности ожиданий):

\mathrm{E}(3X - 5Y) = 3 \cdot \mathrm{E}(X) - 5 \cdot \mathrm{E}(Y) = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 3 = 12 - 15 = -3.

2) Для дисперсии важно помнить два правила: константа выносится в квадрате, а для независимых величин дисперсия разности равна сумме дисперсий (минус перед $5Y$ при возведении в квадрат исчезает):

\mathrm{D}(3X - 5Y) = 3^2 \cdot \mathrm{D}(X) + (-5)^2 \cdot \mathrm{D}(Y) = 9 \cdot 2 + 25 \cdot 5 = 18 + 125 = 143.

Ответ: $\mathrm{E}(Z) = -3$ ; $\mathrm{D}(Z) = 143$ .

6. Разбор типовых задач

Задача 8. Случайная величина $X$ задана законом распределения:

$x_i$	2	4	6
$p_i$	0,3	0,5	0,2

Найдите математическое ожидание $\mathrm{E}(X)$ и дисперсию $\mathrm{D}(X)$ .

Решение: 1) Находим математическое ожидание $\mathrm{E}(X)$ :

\mathrm{E}(X) = 2 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}5 + 6 \cdot 0{,}2 = 0{,}6 + 2{,}0 + 1{,}2 = 3{,}8.

2) Находим математическое ожидание квадратов $\mathrm{E}(X^2)$ :

\mathrm{E}(X^2) = 2^2 \cdot 0{,}3 + 4^2 \cdot 0{,}5 + 6^2 \cdot 0{,}2 = 4 \cdot 0{,}3 + 16 \cdot 0{,}5 + 36 \cdot 0{,}2 = 1{,}2 + 8{,}0 + 7{,}2 = 16{,}4.

3) Находим дисперсию $\mathrm{D}(X)$ :

\mathrm{D}(X) = \mathrm{E}(X^2) - (\mathrm{E}(X))^2 = 16{,}4 - (3{,}8)^2 = 16{,}4 - 14{,}44 = 1{,}96.

Ответ: $\mathrm{E}(X) = 3{,}8$ ; $\mathrm{D}(X) = 1{,}96$ .

Задача 9. Случайная величина $X$ имеет математическое ожидание $\mathrm{E}(X) = 5$ и дисперсию $\mathrm{D}(X) = 9$ . Используя неравенство Чебышёва, оцените вероятность того, что $|X - 5| \geqslant a$ , где $a = 6$ .

Решение: здесь отклонение $a = 6$ . Применяем неравенство Чебышёва:

\mathrm{P}(|X - 5| \geqslant 6) \leqslant \frac{9}{6^2} = \frac{9}{36} = 0{,}25.

Ответ: вероятность не более $0{,}25$ .

Задача 10. Монету подбрасывают 100 раз. Случайная величина $X$ — число выпадений ``орла''. Найдите математическое ожидание $\mathrm{E}(X)$ и дисперсию $\mathrm{D}(X)$ , если вероятность ``орла'' в одном броске равна $0{,}5$ .

Решение: это классическая схема Бернулли с $n = 100$ испытаниями и вероятностью успеха $p = 0{,}5$ . Для схемы Бернулли существуют готовые простые формулы:

\mathrm{E}(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}5 = 50.

\mathrm{D}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 100 \cdot 0{,}5 \cdot (1 - 0{,}5) = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 25.

Ответ: $\mathrm{E}(X) = 50$ ; $\mathrm{D}(X) = 25$ .