Решение базовых тригонометрических уравнений

Базовые тригонометрические уравнения

Даже самые сложные тригонометрические уравнения сводятся к решению одного или нескольких базовых — за редким исключением. Эта статья поможет вам разобраться с их решением.

Будем называть базовыми тригонометрическими уравнения вида

где \(a\) — некоторое число.

Решать такие уравнения нужно уверенно и достаточно быстро. Главное — понимать, откуда берётся ответ, а не бездумно заучивать формулы. Для этого нужно научиться свободно ориентироваться на тригонометрической окружности.

По сути, все решения сведутся к следующей идее: сначала найдём точки окружности, соответствующие решениям, а потом — сами решения.

Напомним вам основы работы с тригонометрической окружностью.

1. Что нужно помнить о тригонометрической окружности?

Рассмотрим стандартную окружность радиуса \(1\) с центром в начале координат. Пока это обычный объект из алгебры и геометрии. Что же делает окружность тригонометрической? Это специальная конструкция, позволяющая легко и наглядно отсчитывать и визуализировать произвольные углы любой величины.

За начало отсчёта примем точку с координатами \((1;\,0)\).

Рассмотрим, как отложить точку, соответствующую числу \(t\). Чтобы найти эту точку, пройдём от начала отсчёта по окружности путь длины \(|t|\). Если \(t > 0\) — против часовой стрелки, если \(t < 0\) — по часовой.

Длина единичной окружности равна \(2\pi\). Поэтому числу \(\dfrac{\pi}{2}\), например, соответствует точка \((0;\,1)\): путь длины \(\dfrac{\pi}{2}\) — это ровно четверть окружности.

Пройдя требуемый путь, мы получим некоторую точку на окружности.

Почему мы выбрали именно единичную окружность? Чтобы координаты точки в точности совпадали со значениями синуса и косинуса. Если бы радиус был равен \(R\), абсцисса точки была бы \(R\cos t\), а ордината — \(R\sin t\), и пришлось бы каждый раз делить на \(R\). С единичной окружностью всё напрямую: посмотрите на прямоугольный треугольник \(OAB\) на рисунке ниже. Гипотенуза \(OB\) — это радиус (равен \(1\)), горизонтальный катет \(OA\) — абсцисса точки \(B\), вертикальный катет \(AB\) — её ордината. Длины катетов в точности равны \(\cos t\) и \(\sin t\) — ничего умножать и делить не нужно.

Координаты этой точки, соответствующей числу \(t\), и есть синус и косинус этого числа:

• \(\cos t\) — абсцисса точки, а \(\sin t\) — её ордината;

• \(\operatorname{tg} t = \dfrac{\sin t}{\cos t}\) — отношение ординаты к абсциссе; тангенс не определён, когда абсцисса равна нулю;

• \(\operatorname{ctg} t = \dfrac{\cos t}{\sin t}\) — отношение абсциссы к ординате; котангенс не определён, когда ордината равна нулю.

Важно: так сложилось, что обычно мы держим в голове порядок слов «абсцисса – ордината» и «синус – косинус», но соответствие обратное: абсциссе соответствует косинус, а ординате — синус. Не путайтесь, пожалуйста!

Теперь мы умеем по значению функции находить точку. Но в один полный оборот «влезает» путь не более \(2\pi\). Как же быть с более длинными путями?

Здесь нам поможет одно естественное наблюдение. Если от любой точки пройти всю окружность в любую сторону, мы вернёмся в ту же точку. Поэтому точке соответствует не одно число, а бесконечно много: если одно из них равно \(t\), то все они имеют вид

Здесь \(n\) — число полных оборотов: при \(n > 0\) мы обходим окружность против часовой стрелки, при \(n < 0\) — по часовой.

Меняя \(n\), мы «пробежим» все нужные значения. Более того, точкой «старта» может быть любая точка из этого множества. Даже если начать не с \(t\), а, например, с \(t + 2026\pi\), слагаемое \(2\pi n\) для всех целых \(n\) всё равно учтёт все нужные значения.

Важное отличие для тангенса и котангенса: синус и косинус повторяются через полный оборот (\(2\pi\)), а тангенс и котангенс — через полуоборот (\(\pi\)). Это связано с тем, что диаметрально противоположные точки имеют одинаковые значения тангенса и котангенса (наглядно мы покажем это ниже). Поэтому для уравнений \(\operatorname{tg} x = a\) и \(\operatorname{ctg} x = a\) шаг в ответе будет равен \(\pi\), а не \(2\pi\).

Теперь мы можем изложить простой план решения любого базового тригонометрического уравнения:

1. Находим на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие уравнению.

2. Для каждой точки находим одно (самое понятное для вас) соответствующее ей число.

3. Прибавляем к каждому такому числу \(2\pi n\) (для синуса и косинуса) или \(\pi n\) для тангенса и котангенса.

4. Записываем ответ в наиболее простом виде.

2. Самые простые уравнения

Пример 1. Решим уравнение \(\sin x = 0\).

Синус — это ордината точки, поэтому нам нужны точки окружности с ординатой \(0\). Найдём все такие значения в пределах одного оборота (от \(0\) до \(2\pi\)). Это \(x=0\) и \(x=\pi\).

Теперь добавим к каждому значению \(2\pi n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) и тем самым получим все решения:

Можно ли записать решения короче? Да!

Посмотрим на обе серии вместе. Числа \(\ldots,\ -2\pi,\ 0,\ 2\pi,\ 4\pi,\ \ldots\) из первой серии и числа \(\ldots,\ -\pi,\ \pi,\ 3\pi,\ \ldots\) из второй — это все целые кратные \(\pi\): чётные кратные соответствуют точке \((1; 0)\), нечётные — точке \((-1; 0)\). Значит, обе серии записываются одной формулой.

Ответ: \(x = \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

Пример 2. Решим уравнение \(\cos x = -1\).

Косинус — это абсцисса точки. Точка окружности с абсциссой \(-1\) всего одна — это точка \((-1; 0)\).

Этой точке соответствует число \(\pi\) (путь от начала отсчёта до точки \((-1; 0)\) равен половине окружности), а значит, и все числа \(\pi + 2\pi n\). Других решений нет. Обратите внимание: здесь, в отличие от примера 1, шаг серии равен \(2\pi\), а не \(\pi\). Точка одна, и вернуться в неё можно только целым оборотом.

Ответ: \(x = \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

Пример 3. Решим уравнение \(\operatorname{ctg} x = 0\).

Котангенс — это отношение абсциссы к ординате. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Значит, нам нужны точки с абсциссой \(0\) и ненулевой ординатой. Абсциссу \(0\) имеют две точки окружности — \((0; 1)\) и \((0; -1)\). Обе имеют ненулевую ординату.

Точке \((0; 1)\) соответствует число \(\dfrac{\pi}{2}\) (четверть окружности против часовой стрелки), а точке \((0; -1)\) — число \(\dfrac{3\pi}{2}\) (ещё половина окружности против часовой стрелки).

Получаем две серии: \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\) и \(\dfrac{3\pi}{2} + 2\pi n\).

Эти серии легко записываются в одну, если заменить шаг на \(\pi n\).

Ответ: \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

3. Синус и косинус, но чуть посложнее

Пример 4. Решим уравнение \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).

Это уравнение посложнее рассмотренных ранее, но от проверенного плана решения отступать не будем!

Сначала найдём не сами решения, а соответствующие им точки на тригонометрической окружности. Это точки с ординатой \(\dfrac{1}{2}\), их две (в первой и второй четвертях).

Выясним, какие числа соответствуют этим точкам. Одна из точек соответствует числу \(\dfrac{\pi}{6}\), так как \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\). Вторая точка симметрична первой относительно оси ординат, поэтому ей соответствует число \(\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\).

Числа, соответствующие первой точке, имеют вид \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\), а числа, соответствующие второй точке, имеют вид \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)).

Ответ:

Пример 5. Решим уравнение \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Действуем так же. Косинус — это абсцисса, поэтому ищем точки окружности с абсциссой \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Их снова две, и они симметричны относительно оси абсцисс.

Одна из точек соответствует числу \(\dfrac{\pi}{6}\), так как \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Вторая точка симметрична ей относительно оси абсцисс. До неё от начала отсчёта нужно пройти такой же путь \(\dfrac{\pi}{6}\), но уже по часовой стрелке, — эта точка соответствует числу \(-\dfrac{\pi}{6}\). Получаем две серии: \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\). Их принято записывать вместе со знаком «плюс-минус»:

Вместо \(-\dfrac{\pi}{6}\) можно взять и положительное число. Если пройти окружность почти целиком, получится \(2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}\). Это тоже верно: серия \(\dfrac{11\pi}{6} + 2\pi n\) состоит из тех же чисел, что и \(-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\). Но запись со знаком \(\pm\) короче.

Ответ: \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

Ось тангенсов и ось котангенсов

Оси абсцисс и ординат помогают визуализировать значения косинуса и синуса (вы не забыли, что именно в таком порядке?).

А как быть с тангенсом и котангенсом? Есть ли столь же наглядные геометрические конструкции? Есть!

Ось тангенсов — это вертикальная прямая, касательная к окружности в точке \((1;\,0)\) (то есть в начале отсчёта). Её уравнение: \(x = 1\).

Ось котангенсов — это горизонтальная прямая, касательная к окружности в точке \((0;\,1)\) (верхняя точка окружности). Её уравнение: \(y = 1\).

Почему именно на этих прямых откладываются значения тангенса и котангенса? Давайте разберёмся.

Пусть точка \(M\) на окружности соответствует числу \(t\). Её координаты: \((\cos t,\, \sin t)\). Проведём прямую через начало координат \(O\) и точку \(M\). Она пересекает ось тангенсов в точке \(T\) и ось котангенсов в точке \(C\).

Для оси тангенсов: прямая \(OM\) проходит через начало координат и точку \((\cos t,\, \sin t)\), поэтому её уравнение:

или

Ось тангенсов — это прямая \(x = 1\). Подставляем \(x = 1\) в уравнение прямой \(OM\):

Значит, прямая \(OM\) пересекает ось тангенсов в точке \(T\) с координатами \((1;\, \operatorname{tg} t)\). Отрезок от \((1;\,0)\) до \(T\) имеет длину \(|\operatorname{tg} t|\), а его направление (вверх или вниз) показывает знак тангенса.

Для оси котангенсов: та же прямая \(OM\) имеет уравнение \(y = \operatorname{tg} t \cdot x\), которое можно переписать как \(x = \operatorname{ctg} t \cdot y\). Ось котангенсов — это прямая \(y = 1\). Подставляем \(y = 1\):

Значит, прямая \(OM\) пересекает ось котангенсов в точке \(C\) с координатами \((\operatorname{ctg} t;\, 1)\). Отрезок от \((0;\,1)\) до \(C\) имеет длину \(|\operatorname{ctg} t|\), а его направление (вправо или влево) показывает знак котангенса.

Итак, тангенс и котангенс — это координаты точек пересечения прямой \(OM\) с касательными к окружности в начале отсчёта и в верхней точке соответственно. Поэтому оси тангенсов и котангенсов — такие же наглядные инструменты, как оси абсцисс и ординат для косинуса и синуса.

Важное замечание: тангенс не определён, когда \(\cos t = 0\), то есть в точках \((0;\,1)\) и \((0;\,-1)\). В этих случаях прямая \(OM\) совпадает с осью ординат и параллельна оси тангенсов — они не пересекаются. Аналогично, котангенс не определён, когда \(\sin t = 0\), то есть в точках \((1;\,0)\) и \((-1;\,0)\). Тогда прямая \(OM\) совпадает с осью абсцисс и параллельна оси котангенсов.

Теперь, когда мы знаем про оси тангенсов и котангенсов, давайте перейдём к решению уравнений.

4. А теперь тангенс и котангенс

Перед разбором решений ещё раз напомним: тангенс и котангенс повторяются через полуоборот (\(\pi\)), а не через полный (\(2\pi\)). Значит, если мы нашли одно решение \(x_0\), то все значения вида \(x_0 + \pi n\) тоже будут решениями.

Пример 6. Решим уравнение \(\operatorname{tg} x = -1\).

Вспомним табличные значения тангенса. Мы знаем, что \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1\). Тангенс отрицателен во второй и четвёртой четвертях.

Точка в четвёртой четверти соответствует числу \(-\dfrac{\pi}{4}\). Вторая точка диаметрально противоположна первой, поэтому ей соответствует число \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{3\pi}{4}\).

Тангенс повторяется через \(\pi\), поэтому объединим серии для обеих точек в одну:

Ответ: \(x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

Пример 7. Решим уравнение \(\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}\).

Вспомним табличные значения котангенса: \(\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}\). Котангенс положителен в первой и третьей четвертях, значит, одна из искомых точек соответствует числу \(\dfrac{\pi}{6}\) (первая четверть).

Вторая точка диаметрально противоположна первой, поэтому ей соответствует число \(\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{7\pi}{6}\). Котангенс повторяется через \(\pi\), поэтому обе серии объединяются в одну:

Ответ: \(x = \dfrac{\pi}{6} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

5. А что делать, если значение не из таблицы?

Во всех примерах выше мы узнавали числа явно из таблицы: \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\), \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) и так далее. Но в уравнении \(\sin x = -\dfrac{1}{3}\) точки на окружности найти так же легко, а вот узнать соответствующее им число не получится: среди знакомых значений синуса числа \(-\dfrac{1}{3}\) нет. Для таких случаев есть специальные функции.

Определение. Арксинусом числа \(a\), где \(-1 \leqslant a \leqslant 1\), называется такое число \(t\) из отрезка \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\, \dfrac{\pi}{2}\right]\), что \(\sin t = a\). Обозначение: \(\arcsin a\).

Определение. Арккосинусом числа \(a\), где \(-1 \leqslant a \leqslant 1\), называется такое число \(t\) из отрезка \([0;\, \pi]\), что \(\cos t = a\). Обозначение: \(\arccos a\).

На окружности числам отрезка \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\, \dfrac{\pi}{2}\right]\) соответствует правая половина окружности, а числам отрезка \([0;\, \pi]\) — верхняя. Горизонтальная прямая \(y = a\) пересекает правую половину окружности ровно в одной точке. Вертикальная прямая \(x = a\) ровно в одной точке пересекает верхнюю половину. Поэтому арксинус и арккосинус определены однозначно. Например, \(\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}\) и \(\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{6}\) — это те самые числа, которые мы нашли в примерах 4 и 5.

Обратите внимание: арксинус и арккосинус дают число только для одной из двух точек. Вторую точку, как и раньше, находим при помощи тригонометрической окружности.

Пример 8. Решим уравнение \(\sin x = -\dfrac{1}{3}\).

Ищем точки окружности с ординатой \(-\dfrac{1}{3}\). Такие точки лежат в нижней половине окружности: одна в четвёртой четверти, другая в третьей.

Точка в четвёртой четверти лежит на правой половине окружности, поэтому ей соответствует число \(\alpha = \arcsin\left(-\dfrac{1}{3}\right)\). Это отрицательное число: от начала отсчёта к этой точке мы идём по часовой стрелке. Вторая точка симметрична первой относительно оси ординат, поэтому ей соответствует число \(\pi - \alpha\). Получаем

Минус из-под арксинуса можно вынести: \(\arcsin(-a) = -\arcsin a\). Точки для \(a\) и \(-a\) на правой половине окружности симметричны относительно оси абсцисс.

Ответ: \(x = -\arcsin\dfrac{1}{3} + 2\pi n\), \(x = \pi + \arcsin\dfrac{1}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

Пример 9. Решим уравнение \(\cos x = \dfrac{1}{3}\).

Ищем точки окружности с абсциссой \(\dfrac{1}{3}\). Они симметричны относительно оси абсцисс: одна в первой четверти, другая в четвёртой.

Точка в первой четверти лежит на верхней половине окружности, поэтому ей соответствует число \(\arccos\dfrac{1}{3}\). Вторая точка симметрична ей относительно оси абсцисс, и, как в примере 5, ей соответствует противоположное число \(-\arccos\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(x = \pm\arccos\dfrac{1}{3} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

С тангенсом и котангенсом ситуация аналогичная. \(\operatorname{arctg} a\) — это число из интервала \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\, \dfrac{\pi}{2}\right)\), тангенс которого равен \(a\). \(\operatorname{arcctg} a\) — число из интервала \((0;\, \pi)\), котангенс которого равен \(a\). Они определены при любом \(a\). Например, у уравнения \(\operatorname{tg} x = 2\) решения \(x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\). Вторая точка диаметрально противоположна первой, и шаг, как мы уже знаем, равен \(\pi\).

6. Когда решений нет?

Как и в других типах уравнений, не любое тригонометрическое уравнение имеет решение.

Синус и косинус — координаты точки на окружности радиуса \(1\), поэтому они не бывают больше \(1\) или меньше \(-1\). Значит, при \(|a| > 1\) уравнения \(\sin x = a\) и \(\cos x = a\) решений не имеют: прямая \(y = a\) или \(x = a\) просто не пересекает окружность. Например, не имеют решений уравнения \(\sin x = 1{,}5\) и \(\cos x = -\sqrt{3}\).

Тангенс и котангенс могут равняться любому числу: прямая, проходящая через центр окружности, всегда её пересекает. Поэтому уравнения \(\operatorname{tg} x = a\) и \(\operatorname{ctg} x = a\) имеют решения при любом \(a\). Нужно лишь помнить, где эти функции не определены: \(\operatorname{tg} x\) — при \(\cos x = 0\), то есть при \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n\), а \(\operatorname{ctg} x\) — при \(\sin x = 0\), то есть при \(x = \pi n\). Это пригодится в более сложных уравнениях, где тангенс или котангенс стоит рядом с другими выражениями.

7. Сводная таблица

Для удобства мы собрали всё сказанное выше в таблицы. Везде \(n \in \mathbb{Z}\).

Частные случаи лучше помнить наизусть. Мы собрали их в отдельной таблице:

8. И напоследок про ловушки

Вы, вероятно, заметили, что в тригонометрии много тонкостей. В конце статьи приведём список типичных ошибок.

Потерянная серия. Решая \(\sin x = \dfrac{1}{2}\), легко вспомнить только \(\dfrac{\pi}{6}\) и записать ответ \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\). Но горизонтальная прямая пересекает окружность в двух точках, и вторая серия \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n\) теряется. Лекарство — рисунок: сначала точки, потом числа.

Не тот шаг. В уравнении \(\sin x = 0\) ответ \(x = 2\pi n\) теряет точку \((-1; 0)\). В уравнении \(\operatorname{tg} x = 2\) ответ \(x = \operatorname{arctg} 2 + 2\pi n\) теряет диаметрально противоположную точку. Шаг \(\pi\) появляется только тогда, когда подходящие точки диаметрально противоположны. Если точка одна — шаг \(2\pi\).

Минус под арккосинусом. Минус из-под арксинуса выносится: \(\arcsin(-a) = -\arcsin a\). А вот с арккосинусом так нельзя: \(\arccos(-a) = \pi - \arccos a\). Например, \(\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3}\), а не \(-\dfrac{\pi}{3}\). Число \(-\dfrac{\pi}{3}\) даже не лежит на отрезке \([0;\, \pi]\), где по определению находится арккосинус.