Навык

Однородные уравнения второго порядка

Одним из чудесных свойств математики в целом и алгебры, в частности, является универсальность. Часто один и тот же "рецепт" помогает решить, казалось бы, совсем разные задачи. В этой статье вы узнаете о типе уравнений, который можно встретить в разделах: многочлены, алгебраические дроби, тригонометрия, логарифмические и показательные уравнения.

Встречайте:

Однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

a \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{f^{2}(x)}\mkern-3mu}}{f^{2}(x)} + b \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{f(x)}\mkern-3mu}}{f(x)} \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{g(x)}\mkern-3mu}}{g(x)} + c \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{g^{2}(x)}\mkern-3mu}}{g^{2}(x)} = 0,

где $a$ , $b$ , $c$ — действительные числа, причём $a \neq 0$ и $c \neq 0$ , а $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые функции.

Метод решения

Еще раз посмотрим на уравнение

a \cdot \colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}f^{2}(x)$} + b \cdot \colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}f(x)$} \cdot \colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$} + c \cdot \colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g^{2}(x)$} = 0,

выделив цветами функции, с которыми будем работать. Магия метода заключается в том, что до этапа нахождения $x$ нам совершенно не важно, что именно скрывается за $\colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}f(x)$}$ и $\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$}$ . Это может быть многочлен, логарифм, синус и, в принципе, любая другая функция. Важна только общая алгебраическая структура уравнения.

Теперь перейдем к решению.

Решение разбивается на два случая.

Случай I. Проверяем $\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$} = 0$ .

Находим все значения $x$ , при которых $\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$} = 0$ , и подставляем их в исходное уравнение. Если уравнение обращается в верное равенство — значит, это корень, и его нужно включить в ответ. Если нет — просто идём дальше.

Случай II. Рассматриваем $\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$} \neq 0$ .

Делим обе части уравнения на $\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g^{2}(x)$}$ :

a \cdot \left(\frac{\colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}f(x)$}}{\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$}}\right)^{2} + b \cdot \frac{\colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}f(x)$}}{\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$}} + c = 0.

Вводим новую переменную $t = \dfrac{\colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}f(x)$}}{\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$}}$ . Уравнение принимает вид

a \cdot t^{2} + b \cdot t + c = 0. \quad (*)

Это обычное квадратное уравнение. Здесь возможны два исхода:

Если у уравнения $(*)$ нет корней, то и у исходного уравнения (в случае $\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$} \neq 0$ ) корней нет — дальше можно не идти.
Если корни $t_{1}$ и $t_{2}$ существуют, возвращаемся к исходной переменной $x$ , решая два уравнения:
$\frac{\colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}f(x)$}}{\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$}} = t_{1} \quad \text{и} \quad \frac{\colorbox{#BCECD1}{$\color{#2B2B2B}f(x)$}}{\colorbox{#E3CEF2}{$\color{#2B2B2B}g(x)$}} = t_{2}.$

Примеры

Пример 1. Решите уравнение

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{(x^{2} - x)^{2}}\mkern-3mu}}{(x^{2} - x)^{2}} - \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{(x^{2} - x)}\mkern-3mu}}{(x^{2} - x)}\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{(x + 2)}\mkern-3mu}}{(x + 2)} - 2\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{(x + 2)^{2}}\mkern-3mu}}{(x + 2)^{2}} = 0.

Пояснение. Перед нами однородное уравнение второго порядка, где $f(x) = x^{2} - x$ , а $g(x) = x + 2$ .

Решение.

Случай I. Проверяем $g(x) = 0$ , то есть $x = -2$ . Находим $f(-2) = (-2)^{2} - (-2) = 6$ . Подставляем в исходное уравнение:

6^{2} - 6 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{2} = 36 \neq 0.

Значит, $x = -2$ не является корнем.

Случай II. Делим на $(x + 2)^{2}$ и делаем замену $t = \dfrac{x^{2} - x}{x + 2}$ :

t^{2} - t - 2 = 0.

Корни: $t = 2$ и $t = -1$ .

Обратная замена.

При $t = 2$ :

\frac{x^{2} - x}{x + 2} = 2 \implies x^{2} - x = 2x + 4.

Переносим всё влево: $x^{2} - 3x - 4 = 0$ . Корни: $x = 4$ и $x = -1$ .

При $t = -1$ :

\frac{x^{2} - x}{x + 2} = -1 \implies x^{2} - x = -x - 2.

Упрощаем: $x^{2} = -2$ . Действительных корней нет.

Ответ: $-1;\ 4$ .

Пример 2. Решите уравнение

4^{x} - 2 \cdot 6^{x} + 9^{x} = 0.

Пояснение. Заметим, что $4^{x} = (2^{x})^{2}$ , $6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}$ , $9^{x} = (3^{x})^{2}$ . Уравнение принимает вид

\bigl(\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{2^{x}}\mkern-3mu}}{2^{x}}\bigr)^{2} - 2 \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{2^{x}}\mkern-3mu}}{2^{x}} \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{3^{x}}\mkern-3mu}}{3^{x}} + \bigl(\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{3^{x}}\mkern-3mu}}{3^{x}}\bigr)^{2} = 0.

Это однородное уравнение, где $f(x) = 2^{x}$ , а $g(x) = 3^{x}$ .

Решение.

Случай I. Уравнение $3^{x} = 0$ не имеет решений, так что этот случай не даёт корней.

Случай II. Делим на $(3^{x})^{2}$ и делаем замену $t = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}$ :

t^{2} - 2t + 1 = 0 \implies (t - 1)^{2} = 0, \text{ откуда } t = 1.

Обратная замена:

\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = 1 \implies x = 0.

Ответ: $0$ .

Пример 3. Решите уравнение

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{\log_{2}^{2} x}\mkern-3mu}}{\log_{2}^{2} x} - 5 \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{\log_{2} x}\mkern-3mu}}{\log_{2} x} \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{\log_{2}(4x)}\mkern-3mu}}{\log_{2}(4x)} + 6 \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{\log_{2}^{2}(4x)}\mkern-3mu}}{\log_{2}^{2}(4x)} = 0.

Пояснение. Это однородное уравнение, где $f(x) = \log_{2} x$ , а $g(x) = \log_{2}(4x)$ .

Решение. ОДЗ: $x > 0$ .

Случай I. Проверяем $g(x) = 0$ : $\log_{2}(4x) = 0 \implies x = 1/4$ . Подставляем в исходное уравнение:

\log_{2}^{2}(1/4) - 0 + 0 = 4 \neq 0.

Значит, $x = 1/4$ не является корнем.

Случай II. Делим на $\log_{2}^{2}(4x)$ и делаем замену $t = \dfrac{\log_{2} x}{\log_{2}(4x)}$ :

t^{2} - 5t + 6 = 0.

Корни: $t = 2$ и $t = 3$ .

Обратная замена.

При $t = 2$ :

\frac{\log_{2} x}{\log_{2}(4x)} = 2 \implies \log_{2} x = \log_{2}((4x)^{2}).

Раскрываем скобки: $\log_{2} x = \log_{2}(16x^{2})$ . Отсюда $x = 16x^{2} \implies x(16x - 1) = 0$ . Поскольку $x > 0$ , получаем $x = 1/16$ .

При $t = 3$ :

\frac{\log_{2} x}{\log_{2}(4x)} = 3 \implies \log_{2} x = \log_{2}((4x)^{3}).

Раскрываем скобки: $\log_{2} x = \log_{2}(64x^{3})$ . Отсюда $x = 64x^{3} \implies x(64x^{2} - 1) = 0$ . Поскольку $x > 0$ , получаем $x = 1/8$ .

Ответ: $1/16;\ 1/8$ .

Пример 4. Решите уравнение

\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{\sin^{2} x}\mkern-3mu}}{\sin^{2} x} - 3 \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{\sin x}\mkern-3mu}}{\sin x} \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{\cos x}\mkern-3mu}}{\cos x} + 2 \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{\cos^{2} x}\mkern-3mu}}{\cos^{2} x} = 0.

Пояснение. Классическое однородное тригонометрическое уравнение, где $f(x) = \sin x$ , $g(x) = \cos x$ .

Решение.

Случай I. Проверяем $\cos x = 0$ . Тогда $|\sin x| = 1$ , то есть $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$ .

Если $\sin x = 1$ , подставляем в исходное уравнение: $1^{2} - 3 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} = 1 \neq 0$ .

Если $\sin x = -1$ , подставляем: $(-1)^{2} - 3 \cdot (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} = 1 \neq 0$ .

В обоих случаях равенство не выполняется. Значит, $\cos x = 0$ корней не даёт.

Случай II. Делим на $\cos^{2} x$ и используем $\mathrm{tg}\, x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ :

\mathrm{tg}^{2} x - 3 \cdot \mathrm{tg}\, x + 2 = 0.

Замена $t = \mathrm{tg}\, x$ даёт $t^{2} - 3t + 2 = 0$ . Корни: $t = 1$ и $t = 2$ .

Обратная замена.

При $t = 1$ : $\mathrm{tg}\, x = 1 \implies x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ .

При $t = 2$ : $\mathrm{tg}\, x = 2 \implies x = \mathrm{arctg}\, 2 + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ .

Ответ: $\dfrac{\pi}{4} + \pi k;\ \mathrm{arctg}\, 2 + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ .

Пример 5. Решите уравнение

2\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{\left(\frac{x^{2} + 3x + 2}{x - 1}\right)^{2}}\mkern-3mu}}{\left(\frac{x^{2} + 3x + 2}{x - 1}\right)^{2}} - \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{\frac{x^{2} + 3x + 2}{x - 1}}\mkern-3mu}}{\frac{x^{2} + 3x + 2}{x - 1}} \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1}}\mkern-3mu}}{\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1}} - 3\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{\left(\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1}\right)^{2}}\mkern-3mu}}{\left(\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1}\right)^{2}} = 0.

Пояснение. Заметим, что $x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ и $x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ . Уравнение принимает вид

2\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{\left(\frac{(x + 1)(x + 2)}{x - 1}\right)^{2}}\mkern-3mu}}{\left(\frac{(x + 1)(x + 2)}{x - 1}\right)^{2}} - \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#1EBE64}\underlinesegment{\phantom{\frac{(x + 1)(x + 2)}{x - 1}}\mkern-3mu}}{\frac{(x + 1)(x + 2)}{x - 1}} \cdot \mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 1}}\mkern-3mu}}{\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 1}} - 3\mathrlap{\mkern1.5mu\color{#A05AD2}\underlinesegment{\phantom{\left(\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 1}\right)^{2}}\mkern-3mu}}{\left(\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 1}\right)^{2}} = 0.

Это однородное уравнение, где $f(x) = \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x - 1}$ , а $g(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 1)}{x - 1}$ . ОДЗ: $x \neq 1$ .

Решение.

Случай I. Проверяем $g(x) = 0$ : $(x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2$ или $x = -1$ .

Подставляем $x = 2$ : $f(2) = \dfrac{3 \cdot 4}{1} = 12$ , $g(2) = 0$ . Тогда исходное уравнение даёт $2 \cdot 144 - 12 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 288 \neq 0$ . Не корень.

Подставляем $x = -1$ : $f(-1) = 0$ , значит, все три слагаемых обращаются в ноль. Равенство верное! Значит, $x = -1$ — корень уравнения. Не забудьте включить его в ответ!

Случай II. При $g(x) \neq 0$ (то есть $x \neq 2$ и $x \neq -1$ ) делим на $g^{2}(x)$ . Заметим, что

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{x + 2}{x - 2} \quad (\text{при } x \neq -1).

Делаем замену $t = \dfrac{x + 2}{x - 2}$ :

2t^{2} - t - 3 = 0.

Дискриминант: $D = 1 + 24 = 25$ . Корни: $t = \dfrac{3}{2}$ и $t = -1$ .

Обратная замена.

При $t = \dfrac{3}{2}$ :

\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{3}{2} \implies 2(x + 2) = 3(x - 2).

Раскрываем скобки: $2x + 4 = 3x - 6$ , откуда $x = 10$ .

При $t = -1$ :

\frac{x + 2}{x - 2} = -1 \implies x + 2 = -(x - 2).

Раскрываем скобки: $x + 2 = -x + 2 \implies 2x = 0$ , откуда $x = 0$ .

Оба корня принадлежат ОДЗ и не совпадают с $x = 2$ или $x = -1$ .

Ответ: $-1;\ 0;\ 10$ .

Ловушка! Если бы вы сразу разделили уравнение на $g^{2}(x)$ , не проверив Случай I, вы бы потеряли корень $x = -1$ .

Дополнительно отметим, что без использования однородности пришлось бы раскрывать скобки в уравнении четвёртой степени — это долго и чревато арифметическими ошибками. Использование метода превращает громоздкое уравнение в простое квадратное!